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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mo 11.11.2013 | | Autor: | SuHaMa |
| Aufgabe | Zeigen sie mittels formaler Rechnung dass,
[mm] A\cap(B \cup [/mm] C) = ( A [mm] \cap [/mm] B [mm] )\cup [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] C ) |
Meine Lösung:
[mm] \gdw x\in A\cap(B \cup [/mm] C)
[mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C )
[mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in (x\in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C )
[mm] \gdw [/mm] ( [mm] x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B ) [mm] \vee [/mm] ( [mm] x\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B )
[mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B [mm] )\cup [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] C )
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> Zeigen sie mittels formaler Rechnung dass,
> [mm]A\cap(B \cup[/mm] C) = ( A [mm]\cap[/mm] B [mm])\cup[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] C )
> Meine Lösung:
> [mm]\gdw x\in A\cap(B \cup[/mm] C)
warum stellst du da ein [mm] "$\gdw$" [/mm] schon vor die Zeile ??
> [mm]\gdw x\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C ) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\gdw x\in\ A\ \wedge\ \red{x\,\in}\ (x\in\ B\ \vee\ x\,\in\ C )[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
das sollte lauten:
[mm]x\in\ A\ \wedge\ (x\in\ B\ \vee\ x\,\in\ C )[/mm]
> [mm]\gdw\ (\, x\in\ A\ \wedge\ x\ \in\ B\ )\ \vee\ ( x\in\ A\ \wedge\ x\,\in\ \red{B}\ )[/mm]
Da hast du dich verschrieben. Das rot markierte B
sollte ein C sein.
> [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B [mm])\cup\ (\ A\ \cap\ C\ )[/mm]
Bist du dir bewusst, dass du mit dieser Herleitung die
Mengenoperationen (Durchschnitt und Vereinigung)
einfach auf die logischen Operatoren ("und" , "oder")
verlagert hast. Ich bin nicht ganz sicher, ob mit der
Aufgabe genau dies bezweckt wurde.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 11.11.2013 | | Autor: | SuHaMa |
Das stimmt, da habe ich mir verschrieben. Da hätte eigentlich [mm] \forall [/mm] x stehen sollen statt [mm] \gdw [/mm] .
Ja, es ist mir bewusst dass ich die Mengensymbole durch logische Operatoren esetzt habe. Da es aber in der Angabe heisst "Zeigen durch formale Rechnung ", also ich eine Aussage machen muss ??? Verwende ich die logischen Operatoren um zu zeigen, dass die Aussage stimmt ! oder ? Bin mir auch selbst ein wenig unsicher was unter "mittels formaler Rechnung " heisst.
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> Das stimmt, da habe ich mir verschrieben. Da hätte
> eigentlich [mm]\forall[/mm] x stehen sollen statt [mm]\gdw[/mm] .
> Ja, es ist mir bewusst dass ich die Mengensymbole durch
> logische Operatoren esetzt habe. Da es aber in der Angabe
> heisst "Zeigen durch formale Rechnung ", also ich eine
> Aussage machen muss ??? Verwende ich die logischen
> Operatoren um zu zeigen, dass die Aussage stimmt ! oder ?
> Bin mir auch selbst ein wenig unsicher was unter "mittels
> formaler Rechnung " heisst.
Nun ja, eine echt "bessere" Lösung sehe ich auch nicht
unbedingt. Die zu zeigende Gleichung wird ja unter den
![[]](/images/popup.gif) Gesetzen der Mengenalgebra als "grundlegendes"
(Distributiv-) Gesetz angeführt. Da bleibt dann kaum
ein anderer Weg. Also vermutlich alles OK !
LG , Al-Chw.
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