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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Do 21.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Geschwindigkeiten auf einer Parallelplattenleitung
Um den Unterschied zwischen den verschiedenen Geschwindigkeitsdefinitionen zu verdeutlichen, betrachtet man zum Beispiel die Wellenausbreitung in einer Bandleitung (Plattenbreite a, Plattenabstand b [mm] \to k_{y}=\bruch{n\pi}{b}).
[/mm]
Aus der Dispersionsbeziehung
(1) [mm] \beta:=k_{x}=\wurzel{\bruch{\omega^{2}}{c^{2}_{1}}-\vektor{\bruch{n\pi}{b}}^{2}}
[/mm]
erhält man die Phasengeschwindigkeit
(2) [mm] v_{p}=\bruch{\omega}{\beta}=c_{1}\bruch{1}{\wurzel{1-\vektor{\bruch{n\pi{c_{1}}}{b\omega}}^{2}}}>c_{1}
[/mm]
Dahingegen ist die Gruppengeschwindigkeit
(3) [mm] v_{g}=\bruch{d\omega}{d\beta}=\bruch{1}{\bruch{d\omega}{d\beta}}=\bruch{\wurzel{\bruch{\omega^{2}}{c_{1}^{2}}-\vektor{\bruch{n\pi}{b}}}}{\bruch{1}{2}*\bruch{2\omega}{c_{1}^{2}}}=c_{1}\wurzel{1-\vektor{\bruch{n\pi{c_{1}}}{b\omega}}^{2}}
Meine Frage:
Die Phasengeschwindigkeit [mm] v_{p} [/mm] erhalte ich durch Umstellen der Gleichung (1). Ich kann auch hier wieder nicht nachvollziehen, wie ich mit Gleichung (2) auf Gleichung (3) gelange. Um die entsprechende Ableitung bilden zu können, brauche ich doch explizit eine Funktion [mm] \omega(\beta). [/mm] Gibt es da vielleicht einen Trick, um eine solche Gleichung zu erhalten, die man dann wie gewohnt ableiten kann? Über einen hilfreichen Tipp würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Do 21.07.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Marcel,
Bin vor kurzer Zeit am Gleichen gestolpert! Deine Frage ist doch konkret gesagt, "wie kommt man auf (3)"? Genau, du brauchst [mm] w(\beta) [/mm] !
Erstmal erläuterungen:
Man nehme an es gäbe [mm] f_{A} [/mm] -> die Trägerfrequenz und [mm] f_{B} [/mm] -> Informationsfrequenz. Es ist [mm] f_{A} [/mm] >> [mm] f_{B}. [/mm] Es entstehen Signale der 3 Frequenzen [mm] f_{A} [/mm] - [mm] f_{B}, f_{A}, f_{A} [/mm] + [mm] f_{B}. [/mm] Die Information ist mit den 3 Frequenzen redundant, es genügen also 2 wie z.B. [mm] f_{A} [/mm] und [mm] f_{A} [/mm] + [mm] f_{B}. [/mm]
Nennen wir nun [mm] f_{1} [/mm] := [mm] f_{A} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] := [mm] f_{A} [/mm] + [mm] f_{B}. [/mm] Zu [mm] f_{1} [/mm] gehört ein [mm] \beta_{1} [/mm] und zu [mm] f_{2} [/mm] ein [mm] \beta_{2}. [/mm] Also folgt:
E(x,t) = [mm] E_{0}(cos(w_{1}*t [/mm] - [mm] \beta_{1}*z) [/mm] + [mm] cos(w_{2}*t [/mm] - [mm] \beta_{2}*z)) [/mm] = [mm] 2E_{0}*cos(\bruch{w_{1} + w_{2}}{2}*t [/mm] - [mm] \bruch{\beta_{1} + \beta_{2}}{2}*z)*cos(\bruch{w_{1} - w_{2}}{2}*t [/mm] - [mm] \bruch{\beta_{1} - \beta_{2}}{2}*z) [/mm] (Mit Hilfe von Trigonometrischen Formeln).
PHASENGESCHWINDIGKEIT:
Weil nun [mm] w_{1} \approx w_{2} [/mm] und [mm] \beta_{1} \approx \beta_{2} [/mm] ist nur der erste cos-Term für die Phase relevant und es ist
[mm] v_{p} [/mm] = [mm] \bruch{w_{1} + w_{2}}{\beta_{1} + \beta_{2}} \approx \bruch{w}{\beta}
[/mm]
GRUPPENGESCHWINDIGKEIT (So wird Infomation Transportiert!):
[mm] \bruch{w_{1} - w_{2}}{2}*t [/mm] - [mm] \bruch{\beta_{1} - \beta_{2}}{2}*z [/mm] = const.
Also [mm] v_{g} [/mm] = [mm] \bruch{w_{1} - w_{2}}{\beta_{1} - \beta_{2}} \approx \bruch{\partial w}{\partial \beta}
[/mm]
Hier die Antwort:
[mm] v_{g} [/mm] = [mm] \bruch{dw}{d\beta} [/mm] = [mm] \bruch{dw(\beta)}{d\beta} [/mm] = [mm] \bruch{d\wurzel{\bruch{\beta^{2} + \bruch{n*\pi}{b}^{2}}{\mu*\varepsilon}}}{d\beta} [/mm] = ...
wobei ich c = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\mu*\varepsilon}} [/mm] benutzt hab.
Du bekommst nach dem Ableiten einen Audruck in Abhängigkeit von [mm] \beta. [/mm] Setze dann einfach für [mm] \beta [/mm] wieder [mm] \beta [/mm] = [mm] \wurzel{w^{2}*\mu*\varepsilon - (\bruch{n*\pi}{b})^{2}} [/mm] ein.
Gruss
(Achtung du hast bei (3) einen Fehler, es ist [mm] (\bruch{n*\pi}{b})^{2} [/mm] unter der Wurzel und nicht [mm] \bruch{n*\pi}{b}.)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo!
Ja vielen Dank, das passt in der Tat.
Viele Grüße, Marcel
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