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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mi 11.06.2008 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | Zu einem bestimmen Zeitpunkt t=0 befinden sich die beiden Flugzeuge in den Punkten [mm] A_1(-10,5|-12|3) [/mm] und [mm] B_1(-9,6|15|4,5), [/mm] eine Minute später lauten die Positionen [mm] A_2(-5,5|-14|3,5) [/mm] und [mm] B_2(-4,4|9|4,4).
[/mm]
a) Bestimmen Sie geeignete Parameterdartstellungen für die Flugbahnen. Berechnen Sie dii Geschwindigkeiten der Flugzeuge und ermitteln Sie den Steigungswinkel der Flugbahn von Flugzeug A. Untersuchen Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich die Flugzeuge auf gleicher Höhe Höhe befinden, und bestimmen Sie gegebenfalls diesen Zeitpunkt.
(Alle Angaben in km, z-Achse als Höhe) |
Die Parameterform sit ja ganz einfach zu bestimmen, einfach mit den jeweiligen zwei Punkten.
Die Geschwindigkeit berechnet sich ja unter der Formel v=s/t
t ist ja 60 sek. aber wie bestimme ich s?
einfach den Richtungsvektor nehmen und von ihm die Länge bestimmen? Sprich die Zahl, die dann herauskommt, sind die km?
Den Steigungswinkel bestimme ich einfach wenn ich die Gerade der A Punkte nehme und die Ebene x-y und dann über die Formel
[mm] [mm] (cos(\alpha)=( \vec u_a [/mm] * [mm] \vec z)/(u_a [/mm] * z)) dann den Winkel bestimme? ( Vektor z ist der senkrechte auf der der Ebene x-y)
Bei der gleichen Höhe - muss ich dann einfach die beiden zum Schnitt bringen?
*edit* aber das ist unlogisch, wiel die sich ja im Raum befinden und die gleiche Höhe auch haben können, ohne sich zu schneiden???? Muss icih dann nicht ein z bei BEIDEN finden, das gleich ist zur GLEICHEN Zeit?
Danke für euer Bemühen und Rat schon einmal im Voraus
MfG
Nordi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mi 11.06.2008 | | Autor: | moody |
> Die Parameterform sit ja ganz einfach zu bestimmen,
> einfach mit den jeweiligen zwei Punkten.
richtig
> einfach den Richtungsvektor nehmen und von ihm die Länge
> bestimmen? Sprich die Zahl, die dann herauskommt, sind die
> km?
Also der Vektor der sich ergibt wenn man die 2 Punkte betrachtet die das Flugzeug am Anfang und am Ende des Fluges beschreiben nehmen, dann stimmt das so.
> Den Steigungswinkel bestimme ich einfach wenn ich die
> Gerade der A Punkte nehme und die Ebene x-y und dann über
> die Formel
> [mm][mm](cos(\alpha)=( \vec u_a[/mm] * [mm]\vec z)/(u_a[/mm] * z)) dann den Winkel bestimme? ( Vektor z ist der senkrechte auf der der Ebene x-y)
Du meinst wohl invsin [mm] \bruch{\vec{u} \* \vec{z}}{|\vec{u}| * |\vec{z}|} [/mm] = [mm] \alpha?
[/mm]
> Bei der gleichen Höhe - muss ich dann einfach die beiden zum Schnitt bringen?
Das wäre aber übel für die Piloten, nicht?
> *edit* aber das ist unlogisch, wiel die sich ja im Raum befinden und die gleiche Höhe auch haben können, ohne sich zu schneiden???? Muss icih dann nicht > ein z bei BEIDEN finden, das gleich ist zur GLEICHEN Zeit?
Meinst du mit z den Normalenvektor wie du ihn vorher benannt hast oder meinst du die [mm] x_{3} [/mm] Koordinate. Bei zweiterem hast du Recht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mi 11.06.2008 | | Autor: | n0rdi |
> > Die Parameterform sit ja ganz einfach zu bestimmen,
> > einfach mit den jeweiligen zwei Punkten.
> richtig
>
> > einfach den Richtungsvektor nehmen und von ihm die Länge
> > bestimmen? Sprich die Zahl, die dann herauskommt, sind die
> > km?
>
> Also der Vektor der sich ergibt wenn man die 2 Punkte
> betrachtet die das Flugzeug am Anfang und am Ende des
> Fluges beschreiben nehmen, dann stimmt das so.
Ja genau das meinte ich ;)
> > Den Steigungswinkel bestimme ich einfach wenn ich die
> > Gerade der A Punkte nehme und die Ebene x-y und dann über
> > die Formel
> > [mm][mm](cos(\alpha)=( \vec u_a[/mm] * [mm]\vec z)/(u_a[/mm] * z)) dann den Winkel bestimme? ( Vektor z ist der senkrechte auf der der Ebene x-y)
Du meinst wohl invsin [mm]\bruch{\vec{u} \* \vec{z}}{|\vec{u}| * |\vec{z}|}[/mm] = [mm]\alpha?[/mm]
ja genau, das meinte ich auch^^
> Bei der gleichen Höhe - muss ich dann einfach die beiden zum Schnitt bringen?
Das wäre aber übel für die Piloten, nicht?
ja fiel mir nachher auch ein, so geht es nicht ;)
> *edit* aber das ist unlogisch, wiel die sich ja im Raum befinden und die gleiche Höhe auch haben können, ohne sich zu schneiden???? Muss icih dann nicht > ein z bei BEIDEN finden, das gleich ist zur GLEICHEN Zeit?
Meinst du mit z den Normalenvektor wie du ihn vorher benannt hast oder meinst du die [mm]x_{3}[/mm] Koordinate. Bei zweiterem hast du Recht.
ich mein einen neuen wert für z bei beiden geraden, der gleich sein muss zur gleichen Zeit
Aber wie stelle ich das nun an? die zeit irritiert mich ein wenig :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Do 12.06.2008 | | Autor: | weduwe |
> Aber wie stelle ich das nun an? die zeit t irritiert mich ein wenig :(
da die z - komponente gleich sein soll:
[mm]3+0.5t = 4.5 - 0.1t[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Do 12.06.2008 | | Autor: | n0rdi |
kann ich das t dann einfach bei v=s/t einsetzen und nach s umstellen?
so einfach?
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Hallo!
Ich glaube, dir ist da ein ganz ganz einfacher Zusammenhang nicht ganz klar.
Deine Gradengleichungen sehen doch prinzipiell so aus:
[mm] $\vec x=\vec x_0 [/mm] + [mm] t*\vec [/mm] v$
Du hast schon erkannt, daß [mm] \vec{v} [/mm] dir die Geschwindigkeit in drei Dimensionen gibt. Jede einzelne Komponente sagt dir, wie schnell das Flugzeug in die jeweilige Raumrichtung fliegt.
Denk aber dran, die Einheit dieser geschwindigkeit ist km/min , wenn du die Zahlen aus der Aufgabenstellung übernimmst.
Das beste: t ist direkt die Zeit in Minuten! nach einer Minute, also t=1 sind die Flugzeuge am zweiten Punkt angekommen!
Das heißt, die Gradengleichung ist das gleiche wie [mm] s=s_0+vt [/mm] , nur in 3D.
Gleiche Höhe bedeutet nun wirklich, daß die [mm] x_3 [/mm] -Komponenten beider Graden gleich sein sollen, wobei wegen der Gleichzeitigkeit auch beiden den gleichen Parameter t enthalten müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Do 12.06.2008 | | Autor: | n0rdi |
aber [mm] \vec v [/mm] ist das nun der Richtungsvektor aus den jeweiligen 2 Punkten bei dir oder ist das s/t?
kann ich das denn nicht so lösen, wie es der Vorgänger beschrieben hat?
und bei der Geschwindigkeit allg., muss ich bei s/t für t dann 1 oder 60 einsetzen? oder ist das egal? weil sich dann ja nur die Einheit ändert oder?
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Hallo!
Nun, was wewude geschrieben hat, ist genau das, was ich auch meine. Ich wollte dir damit nur nochmal den Zusammenhang etwas näher bringen.
Du hast die Punkte [mm] \vec{A_1} [/mm] und [mm] \vec{A_2} [/mm] , und daraus hast du dir den Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{A_1A_2}=\vec{A_2}-\vec{A_1} [/mm] gebastelt.
Dieser Vektor führt vom ersten Punkt zum zweiten Punkt. Und weil das Flugzeug diese Strecke in 1 min zurück legt, gibt dir der Vektor gleichzeitig die Geschwindigkeit in km/min an. Gleichzeitig gibt dir t dann die Zeit seit Erreichen des Punkts [mm] \vec{A_1} [/mm] in Minuten an.
Sofern dir diese Einheit keine Bauchschmerzen bereitet, mußt du da gar nix in Sekunden oder Stunden umrechnen.
Also: Der Richtungsvektor ist immer sowas wie eine Geschwindigkeit, denn er zeigt dir, wohin sich ein Punkt bewegt, wenn du den Parameter veränderst.
Wenn du dir die beiden Vektorgleichungen für die Graden anschaust, insbesondere die [mm] x_3 [/mm] -Komponenten, siehst du, daß es genau das ist, was auch wewude dir geraten hat.
Die [mm] x_3 [/mm] -Komponente muß für beide Flugzeuge gleich sein, also
$3+0.5t = 4.5 - 0.1t$
Es tut mir leid, wenn ich dich verwirrt habe, wewude hat absolut nichts falsches geschrieben, und ich habe dir eigentlich auch keinen anderen Weg beschrieben. Du machst dir nur momentan Sorgen darum, aus den Punkten noch irgendwelche Geschwindigkeiten auszurechnen, dabei steht das alles schon direkt in den Gradengleichungen.
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