Geschnittene Kugelkappe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Do 09.10.2008 | | Autor: | euli |
| Aufgabe | | Eine Kugelkappe der Einheitskugel in 3d mit der Spitze (1,0,0) wird von einer Ebene, die die y-Achse enthält und im Winkel [mm] \alpha [/mm] zur x-Achse geneigt ist, in 2 Teile zerschnitten. Wie groß sind Oberflächen dieser beiden Teile? |
Die Kugelkappe hat den Öffnungswinkel im Ursprung von [mm] 2\beta. [/mm] Ich kriege diese Aufgabe nicht gelöst und habe auch keine vergleichbare Aufgabe/Formel gefunden. Ich habs mit Integration von Oberflächen im [mm] \IR^{3} [/mm] versucht, aber bei der Parametrisierung haperts. Wäre für eure Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße,
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Do 09.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo und willkommen hier!
Meinst du mit Spitze vielleicht Mittelpunkt? Das würde für mich dann Sinn machen :) Oder was meinst du damit?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Fr 10.10.2008 | | Autor: | euli |
ja genau
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auch noch eine Frage:
im Schnitt mit der x-z-Ebene sehen wir also den Kreis
mit Radius r und Mittelpunkt O(0/0), die zur z-Achse
parallele Sehne s, welche die Kugelkappe abtrennt.
Der Zentriwinkel der Sehne ist 2 [mm] \beta. [/mm] Die Schnittebene
erscheint als Gerade mit dem Winkel [mm] \alpha [/mm] gegenüber
der x-Achse. Das heisst z.B. dass für [mm] \alpha=0 [/mm] die Kugelkappe
gerade halbiert wird und dass für [mm] \alpha=\beta [/mm] die Kappe nur noch
knapp berührt und nicht mehr geteilt wird.
O.K. ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Fr 10.10.2008 | | Autor: | euli |
Genau richtig. Du kannst dich auf die Einheitskugel beschränken, also r=1.
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Hallo Uli,
unter der Voraussetzung, dass meine Interpretation der
Aufgabenstellung (siehe meine Mitteilung) richtig ist, kann
man eine der Teilflächen folgendermassen bestimmen:
Man zerschnippelt die Fläche durch ebene Schnitte senkrecht
zur x-Achse in Streifen. Zur Berechnung der Fläche der
gesamten Kugelkalotte hätte man das Integral:
[mm] F_{Kalotte}=\integral_{x=r*cos(\beta)}^{1}2\pi*z(x)*ds
[/mm]
Dabei ist ds das Linienelement [mm] ds=\wurzel{dx^2+dz^2} [/mm] des Kreises
und [mm] z(x)=\wurzel{r^2-x^2} [/mm] der an der Stelle x gemessene Radius.
Für die kleinere der gesuchten Teilflächen [mm] F_1 [/mm] tritt anstelle
des vollen Winkels [mm] 2\pi [/mm] der Winkel [mm] 2\varphi [/mm] , wobei [mm] cos(\varphi)=\bruch{x*tan(\alpha)}{z(x)}
[/mm]
(dies kann man sich an einer Projektion in x-Richtung klar
machen).
Ferner läuft die Integration nicht von [mm] r*cos(\beta) [/mm] bis 1, sondern
nur von [mm] r*cos(\beta) [/mm] bis [mm] r*cos(\alpha).
[/mm]
Der Einfachheit halber setze ich r=1 ; dann ist [mm] z(x)=\wurzel{1-x^2}.
[/mm]
Damit komme ich auf die Gleichung
[mm] F_1=\integral_{x=cos(\beta)}^{cos(\beta)}2\varphi*z(x)*ds
[/mm]
[mm] =2*\integral_{x=cos(\beta)}^{cos(\alpha)}arccos(\bruch{x*tan(\alpha)}{\wurzel{1-x^2}})*\wurzel{1-x^2}*ds
[/mm]
[mm] =2*\integral_{x=cos(\beta)}^{cos(\alpha)}arccos(\bruch{x*tan(\alpha)}{\wurzel{1-x^2}})*dx
[/mm]
Die Integration lässt sich, so weit ich sehe, im Allgemeinen
nicht in geschlossener Form durchführen. (***)
Die andere Teilfläche ist natürlich [mm] F_2=F_{Kalotte}-F_1
[/mm]
Für einen Kugelradius r≠1 multipliziert man die für den
Kugelradius 1 gewonnenen Flächeninhalte mit [mm] r^2.
[/mm]
Gruß
Al Chwarizmi
(***) ich habe gerade noch ausprobiert, was Mathematica
zu dem Integral sagt: es wird zwar ein formaler Ausdruck
geliefert, aber ein fürchterlich komplizierter
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Hallo Teufel,
ich befürchte, dass wir beiden die Aufgabenstellung doch
noch unterschiedlich interpretieren. Eine zusätzliche
Angabe von euli oder eine Zeichnung wäre hilfreich.
Was ich berechnet habe, ist ein Ausschnitt aus der
Kugeloberfläche, der entsteht, wenn man die Kugel
durch zwei ebene Schnitte zerteilt, wobei der eine
davon (nämlich die Ebene [mm] z=x*tan(\alpha)) [/mm] durch den
Kugelmittelpunkt verläuft; die andere Schnittebene
ist die Ebene [mm] x=r*cos(\beta). [/mm] Ich habe also nicht
die Oberfläche eines "Apfelschnitzes" berechnet, die auch
ebene Flächenstücke enthält, sondern nur die Fläche
seiner Haut.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Na mal schauen! Wäre natürlich auch hilfreich, eulis Hintergrund zu kennen, damit man die Aufgabe dadurch vielleicht besser interpretieren könnte.
Aber mal gucken, was er dazu sagt!
Ich habe eben nur eine Einheitskugel mit M(1|0|0) betrachtet, die von einer Ebene zerhackt wird, die die y-Achse enthält und den Winkel [mm] \alpha [/mm] mit der x-Achse einschließt. Scheint wohl was einfacheres als deine Interpretation zu sein.
Aber wenn man die Sache mit dem Kreis mit dem Radius f(d) bei mir weglässt, dann hat man ja auch nicht mehr die ebenen Flächen dabei, sondern nur noch die Oberfläche, die auch bei der "Originalkugel" bei war.
Aber du meinst sicher noch etwas anderes, oder?
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Fr 10.10.2008 | | Autor: | euli |
Hallo Teufel, hallo Al Chwarizmi!
Vielen Dank für eure Antworten. Mir ist erst jetzt aufgefallen, dass man die Aufgabenstellung missverstehen kann, sorry. In diesem Sinne habe ich auch die erste Frage völlig falsch beantwortet. Mit der 'Spitze' meinte ich den rechtesten Punkt der Kugelkappe, den Punkt an dem die x-Achse die Kugel durchstößt, also geometrisch den Nordpol der Kappe (die allerdings auf der Seite liegt).
In diesem Sinne ist also der Ansatz von Al Chwarizmi eine Möglichkeit, auf die ich nicht gekommen bin. Ich habe den Weg mittlerweile auch verstanden. Danke. Ich werde mal versuchen, den Integralausdruck zu berechnen und eventuell nochmal nachfragen.
Zur Motivation:
Es geht um Photovoltaik. Stellt euch den Himmel als obere Halbkugel vor. Im Ursprung steht eine um [mm] \pi/2-\alpha [/mm] geneigte Solarzelle. Ausser der direkten Sonnenstrahlung der wandernden Sonne wird auch die diffuse Strahlung vom Himmel in elektrische Energie umgewandelt. Jetzt ist die Frage wie ich die Solarzelle aufstelle um übers Jahr den maximalen Ertrag zu erzielen.
Viele Grüße,
Uli
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In welche Richtung zeigt denn in deinem Modell die x-Achse?
(senkrecht zur Ebene des Solarpanels ?)
Und was genau bedeutet [mm] \beta [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Fr 10.10.2008 | | Autor: | euli |
Die x-Achse ist die Normale zum Solarpanel. Mit [mm] \beta [/mm] scanne ich den für das um [mm] \pi/2-\alpha [/mm] geneigte Solarpanel sichtbaren Bereich des Himmels in Form von konzentrischen Kreisstreifen ab. Daraus bekomme ich eine nach [mm] \beta [/mm] aufgeteilte Diffusstrahlung. [mm] F_{2} [/mm] ist also der strahlende Bereich, [mm] F_{1} [/mm] entspricht dem vom Horizont verdeckten Teil. Die Direktstrahlung wird separat betrachtet.
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> Die x-Achse ist die Normale zum Solarpanel. Mit [mm]\beta[/mm]
> scanne ich den für das um [mm]\pi/2-\alpha[/mm] geneigte Solarpanel
> sichtbaren Bereich des Himmels in Form von konzentrischen
> Kreisstreifen ab. Daraus bekomme ich eine nach [mm]\beta[/mm]
> aufgeteilte Diffusstrahlung. [mm]F_{2}[/mm] ist also der strahlende
> Bereich, [mm]F_{1}[/mm] entspricht dem vom Horizont verdeckten Teil.
> Die Direktstrahlung wird separat betrachtet.
Hallo Uli,
in dem Fall habe ich die Situation also geometrisch gesehen wohl
richtig interpretiert.
Solartechnisch gesehen, wären aber die zentralen Bereiche des
"Blickfeldes" des Solarpanels möglicherweise stärker zu gewichten
als die Randbereiche. Ferner wäre vielleicht zu überlegen, ob die
Panels bei bedecktem Himmel anders auszurichten wären als bei
Sonnenschein, um möglichst viel Streulicht einzufangen.
(solange die Sonne sichtbar ist, ist klar: voll auf die Sonne zielen,
möglichst mit Nachführung)
LG Al
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Bedeutung des Integrals