Geschl. Formel bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mo 22.09.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | Es sei x [mm] \in \IR^{\IN_0} [/mm] gegeben durch
[mm] x_k=\begin{cases} -1, & \mbox{für } k=0 \\ 1, & \mbox{für } k=1 \\ -2x_{k-2}+3x_{k-1}, & \mbox{für } k \in \IN_0 \mbox{ mit } k \geq 2. \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie eine geschlossene Formel für x. |
Hallo zusammen,
in unserem Skript wird zur Bestimmung solcher geschlossenen Formeln das Eigenwertproblem und Begleitmatrizen benutzt. Leider verstehe ich nicht, wie dieses Verfahren funktioniert. Als Beispiel wird Binets Formel für die Fibonacci-Folge hergeleitet. Allerdings heißt es dort direkt zu Beginn "Es seien [mm] a_1, a_2 \in \IR [/mm] gegeben durch [mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{1+\sqrt{5}}{2}, a_2 [/mm] = [mm] \bruch{1-\sqrt{5}}{2}. [/mm] Wie man darauf kommt steht dort nicht. Ich habe nach ein bisschen suchen ![[]](/images/popup.gif) diese Beschreibung gefunden, aber da wird geraten und das kann es ja auch nicht sein.
Kann mir vielleicht jemand an der obigen Aufgabe, oder an der Fibonacci-Folge helfen dieses Verfahren zu verstehen?
Vielen Dank fürs lesen und schöne Grüße,
Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mo 22.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo DieAcht,
da liegt ein Missverständnis vor, an dem ich nicht ganz unschuldig bin, da ich den Thread etwas vorschnell nach Analysis verschoben habe.
Es soll ja mit Begleitmatrizen gemacht werden, deshalb verschiebe ich das mjetzt unmittelbar zurück nach LinAlg.
@Avinu: sorry für meine Unachtsamkeit.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 23.09.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo zusammen,
ich habe jetzt nochmal einige Zeit über unserem Script gebrütet und es jetzt glaube ich grundsätzlich verstanden. Ich versuche mich jetzt einfach mal an der Aufgabe...
Aus der rekursiven Folge, kann ich das Polynom [mm] x^2+2x-3 [/mm] "herleiten". Dann ist die Begleitmatrix dazu C = [mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 1 & -2 }. [/mm] Und [mm] C^T [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 3 & -2 } [/mm] =: A.
Nullstellen des Polynoms und damit Eigenwerte von A sind 1 und -3. Die dazugehörigen Eigenräume sind dann [mm] <\vektor{1 \\ 1}> [/mm] und [mm] <\vektor{-1 \\ 3}>.
[/mm]
Dann ist A diagonalisierbar und es ist [mm] P^{-1}AP [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -3 } [/mm] mit P = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 } [/mm] und [mm] P^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0,75 & -0,25 \\ 0,25 & 0,25 }.
[/mm]
Dann gilt [mm] \vektor{x_k \\ x_{k+1}} [/mm] = [mm] P^{-1}A^kP [/mm] = [mm] \pmat{ 0,75 & -0,25 \\ 0,25 & 0,25 } \pmat{ 1^k & 0 \\ 0 & (-3)^k } \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 } \vektor{-1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-(-3)^k \\ (-3)^k}.
[/mm]
Also ist [mm] -(-3)^k [/mm] eine geschlossene Formel für [mm] x_k. [/mm] Das passt aber nicht, denn es ist ja [mm] x_1 [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 3 = [mm] -(-3)^1
[/mm]
Ich finde aber leider meinen Fehler nicht. Hat hier jemand einen Tipp für mich?
Viele Grüße,
Avinu
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Hallo Avinu,
> Hallo zusammen,
>
> ich habe jetzt nochmal einige Zeit über unserem Script
> gebrütet und es jetzt glaube ich grundsätzlich
> verstanden. Ich versuche mich jetzt einfach mal an der
> Aufgabe...
>
> Aus der rekursiven Folge, kann ich das Polynom [mm]x^2+2x-3[/mm]
> "herleiten". Dann ist die Begleitmatrix dazu C = [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 1 & -2 }.[/mm]
Muss die Begleitmatrix nicht so lauten:
[mm]C=\pmat{ 0 & \blue{-2} \\ 1 & \blue{3} }.[/mm]
> Und [mm]C^T[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 3 & -2 }[/mm] =: A.
> Nullstellen des Polynoms und damit Eigenwerte von A sind 1
> und -3. Die dazugehörigen Eigenräume sind dann [mm]<\vektor{1 \\ 1}>[/mm]
> und [mm]<\vektor{-1 \\ 3}>.[/mm]
> Dann ist A diagonalisierbar und es
> ist [mm]P^{-1}AP[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -3 }[/mm] mit P = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 }[/mm]
P muss doch hier lauten:
[mm]P =\pmat{ 1 & \blue{-1} \\ \blue{1} & 3 }[/mm]
> und [mm]P^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 0,75 & -0,25 \\ 0,25 & 0,25 }.[/mm]
> Dann
> gilt [mm]\vektor{x_k \\ x_{k+1}}[/mm] = [mm]P^{-1}A^kP[/mm] = [mm]\pmat{ 0,75 & -0,25 \\ 0,25 & 0,25 } \pmat{ 1^k & 0 \\ 0 & (-3)^k } \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 } \vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{-(-3)^k \\ (-3)^k}.[/mm]
>
> Also ist [mm]-(-3)^k[/mm] eine geschlossene Formel für [mm]x_k.[/mm] Das
> passt aber nicht, denn es ist ja [mm]x_1[/mm] = 1 [mm]\not=[/mm] 3 = [mm]-(-3)^1[/mm]
>
> Ich finde aber leider meinen Fehler nicht. Hat hier jemand
> einen Tipp für mich?
>
> Viele Grüße,
> Avinu
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:42 Di 23.09.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo MathePower,
schon mal vielen Dank für deine Antwort.
> Muss die Begleitmatrix nicht so lauten:
>
> [mm]C=\pmat{ 0 & \blue{-2} \\ 1 & \blue{3} }.[/mm]
Ich denke nicht. Zumindest ist die Definition bei uns im Skript und auch bei Wikipedia eine andere. Wenn ich von deiner Begleitmatrix das charakteristische Polynom bestimme, dann kommt auch nicht [mm] x^2+2x-3 [/mm] raus. Oder übersehe ich hier etwas?
> P muss doch hier lauten:
>
> [mm]P =\pmat{ 1 & \blue{-1} \\ \blue{1} & 3 }[/mm]
Das stimmt natürlich. (Das kommt davon, wenn man beim Tippen einen Fehler findet und den dann direkt hier beim Tippen versucht zu korrigieren...)
Mit diesem P komme ich aber auf [mm] x_k [/mm] = -1,5 + 0,5 * [mm] 3^k, [/mm] was für k=1 nicht das gewünschte Ergebnis liefert. Ich muss hier noch irgendwo einen Fehler haben.
Viele Grüße,
Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Mi 24.09.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo zusammen,
ich habe meinen anderen Fehler gefunden. Es muss heißen
[mm] \vektor{x_k \\ x_{k+1}} [/mm] = [mm] PD^kP^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{1 &-1 \\ 1 & 3 } \pmat{ 1^k & 0 \\ 0 & (-3)^k } \pmat{ \bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} \\ -\bruch{1}{4} & \bruch{1}{4} } \vektor{-1 \\ 1}.
[/mm]
Wobei D die Diagonalmatrix von A ist, also D = [mm] P^{-1}AP.
[/mm]
Dann erhält man als Ergebnis [mm] x_k [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2})(-3)^k [/mm] und das passt für k=0,1,2,3
Vielen Dank für all eure Hilfe und Hinweise.
Viele Grüße,
Avinu
P.S. Ich kann die Frage nicht selbst als beantwortet markieren, oder?
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Hallo Avinu,
> Hallo zusammen,
>
> ich habe meinen anderen Fehler gefunden. Es muss heißen
>
> [mm]\vektor{x_k \\ x_{k+1}}[/mm] = [mm]PD^kP^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{1 &-1 \\ 1 & 3 } \pmat{ 1^k & 0 \\ 0 & (-3)^k } \pmat{ \bruch{3}{4} & \bruch{1}{4} \\ -\bruch{1}{4} & \bruch{1}{4} } \vektor{-1 \\ 1}.[/mm]
>
> Wobei D die Diagonalmatrix von A ist, also D = [mm]P^{-1}AP.[/mm]
>
> Dann erhält man als Ergebnis [mm]x_k[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] +
> [mm](-\bruch{1}{2})(-3)^k[/mm] und das passt für k=0,1,2,3
>
Wenn ich den Ansatz [mm]x_{k}=\lambda^{k}[/mm] für die Rekursionsgleichung
[mm] x_k=\begin{cases} -1, & \mbox{für } k=0 \\ 1, & \mbox{für } k=1 \\ -2x_{k-2}+3x_{k-1}, & \mbox{für } k \in \IN_0 \mbox{ mit } k \geq 2. \end{cases}[/mm]
wähle, dann erhalte ich
[mm]x_{k}=c_{1}+c_{2}*2^{k}, \ c_{1},c_{2} \in \IR[/mm]
> Vielen Dank für all eure Hilfe und Hinweise.
>
> Viele Grüße,
> Avinu
>
> P.S. Ich kann die Frage nicht selbst als beantwortet
> markieren, oder?
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Di 23.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei x [mm]\in \IR^{\IN_0}[/mm] gegeben durch
>
> [mm]x_k=\begin{cases} -1, & \mbox{für } k=0 \\ 1, & \mbox{für } k=1 \\ -2x_{k-2}+3x_{k-1}, & \mbox{für } k \in \IN_0 \mbox{ mit } k \geq 2. \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine geschlossene Formel für x.
>
> Hallo zusammen,
>
> in unserem Skript wird zur Bestimmung solcher geschlossenen
> Formeln das Eigenwertproblem und Begleitmatrizen benutzt.
> Leider verstehe ich nicht, wie dieses Verfahren
> funktioniert. Als Beispiel wird Binets Formel für die
> Fibonacci-Folge hergeleitet. Allerdings heißt es dort
> direkt zu Beginn "Es seien [mm]a_1, a_2 \in \IR[/mm] gegeben durch
> [mm]a_1[/mm] = [mm]\bruch{1+\sqrt{5}}{2}, a_2[/mm] = [mm]\bruch{1-\sqrt{5}}{2}.[/mm]
> Wie man darauf kommt steht dort nicht. Ich habe nach ein
> bisschen suchen
> diese Beschreibung
> gefunden, aber da wird geraten und das kann es ja auch
> nicht sein.
ich denke, dass auch
dieser Thread (ruhig alles lesen!)
für Dich dahingehend interessant sein könnte.
Gruß,
Marcel
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