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Forum "Algebraische Geometrie" - Geradenbündel Verklebeabbildun
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Geradenbündel Verklebeabbildun: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:04 Mo 17.06.2013
Autor: flipflop

Aufgabe
Sei X eine Varietät und [mm] \left\{ U_i \right\} [/mm] eine offene Überdeckung von X. Weiter seien für alle i, j [mm] \in [/mm] I Elemente [mm] g_{ij} \in \mathcal{O}_X (U_i \cap U_j)^{\*} [/mm] gegeben, die stets [mm] g_{ij}g_{jk}=g_{ik} [/mm] erfüllen.
Ziel: Verkleben dieser Daten zu einem Geradenbündel, d.h. [mm] \sqcup (U_i \times \IC) [/mm] / ~

Ich beschäftige mich im Moment mit Geradenbündeln. Verklebt man die Daten aus der Aufgabenstellung genannt, so stellt sich mir die Frage, entlang welcher Abbildungen konkret verklebt wird. D.h.:
Sei (x,t) [mm] \in (U_i \cap U_j) \times \IC \subseteq U_i \times \IC. [/mm] Identifiziert man (x,t) mit (x, [mm] g_{ij}(x)t) [/mm] oder mit  (x, [mm] g_{ji}(x)t) \in (U_i \cap U_j) \times \IC \subseteq U_j \times \IC? [/mm]
In Büchern habe ich leider beide Varianten gefunden, mir ist aber nicht klar, was der Unterschied ist bzw. ob beide Varianten richtig sind.

Es wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

        
Bezug
Geradenbündel Verklebeabbildun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:07 Fr 21.06.2013
Autor: felixf

Moin!

> Sei X eine Varietät und [mm]\left\{ U_i \right\}[/mm] eine offene
> Überdeckung von X. Weiter seien für alle i, j [mm]\in[/mm] I
> Elemente [mm]g_{ij} \in \mathcal{O}_X (U_i \cap U_j)^{\*}[/mm]
> gegeben, die stets [mm]g_{ij}g_{jk}=g_{ik}[/mm] erfüllen.

Wenn du $i = j = k$ waehlst, folgt daraus, dass [mm] $g_{ii} [/mm] = 1$ ist, und mit $i = k$ folgt dann [mm] $g_{ij}^{-1} [/mm] = [mm] g_{ji}$. [/mm]

>  Ziel: Verkleben dieser Daten zu einem Geradenbündel, d.h.
> [mm]\sqcup (U_i \times \IC)[/mm] / ~
>
>  Ich beschäftige mich im Moment mit Geradenbündeln.
> Verklebt man die Daten aus der Aufgabenstellung genannt, so
> stellt sich mir die Frage, entlang welcher Abbildungen
> konkret verklebt wird. D.h.:
>  Sei (x,t) [mm]\in (U_i \cap U_j) \times \IC \subseteq U_i \times \IC.[/mm]
> Identifiziert man (x,t) mit (x, [mm]g_{ij}(x)t)[/mm] oder mit  (x,
> [mm]g_{ji}(x)t) \in (U_i \cap U_j) \times \IC \subseteq U_j \times \IC?[/mm]
>  
> In Büchern habe ich leider beide Varianten gefunden, mir
> ist aber nicht klar, was der Unterschied ist bzw. ob beide
> Varianten richtig sind.

Ich denke, beide Varianten sind richtig. Es sind einfach zwei verschiedene Varianten, alles zusammenzukleben. Wenn du bei Konstruktion A (mit [mm] $g_{ij}$) [/mm] einfach jede Einheit [mm] $g_{ij}$ [/mm] durch ihr Inverses ersetzt und dann mit Konstruktion A verklebst, erhaelst du exakt das gleiche wie bei Konstruktion B (mit [mm] $g_{ji}$). [/mm]

Ich vermute, es wird nicht schwer sein einen Isomorphismus zwischen den beiden Ergebnissen anzugeben.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Geradenbündel Verklebeabbildun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:21 Sa 22.06.2013
Autor: flipflop

Hallo Felix,
vielen Dank! =)

Bezug
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