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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Fr 11.07.2008 | | Autor: | entchen |
| Aufgabe | Man ermittle die Ebene, in der die Geraden
g: [mm] \begin{cases} 2x_1+3x_2-x_3-1=0 \\ x_1+x_2-3x_3=0 \end{cases}
[/mm]
und
h: [mm] \begin{cases} x_1+5x_2+4x_3-3=0 \\ x_1+2x_2+2x_3-1=0 \end{cases}
[/mm]
liegen |
So, also irgendwie check ich nicht so ganz, wie das funktionieren soll. bzw. ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe.
Ich habe als erstes jeweils die beiden Gleichungen innerhalb von g und h gleichgesetzt. oder soll man da irgendwie Fallunterscheidung machen?
Dann haben die beiden Geraden aber eine Schnittgerade und das kann doch nicht sein oder?
Jetzt bin ich mir nicht wirklich darüber im Klaren, wie ich die Ebene daraus bestimmen soll. In der Koordinatenform oder doch die Parameterform?
Wär super, wenn ihr mir bitte ein bisschen Starthilfe geben könntet, bzw. mir sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Vielen Dank schon mal!
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo entchen!
> Ich habe als erstes jeweils die beiden Gleichungen
> innerhalb von g und h gleichgesetzt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder soll man da irgendwie Fallunterscheidung machen?
Nö!
> Dann haben die beiden Geraden aber eine Schnittgerade und
> das kann doch nicht sein oder?
Naja ... wenn, dann haben die beiden Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt!
Und diesen Schnittpunkt kannst Du nun als Stützpunkt für die gesuchte Ebene verwende und die beiden Richtungsvektoren der Geraden als Ebenenrichtungsvektoren.
> In der Koordinatenform oder doch die Parameterform?
Damit hast du dann die Parameterform ...
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:53 Fr 11.07.2008 | | Autor: | entchen |
also beim Gleichsetzen bekomme ich dann
[mm] x_1-x_2+1=0
[/mm]
raus.
damit wäre dann die Ebene:
[mm] \vektor{1\\2 \\ 2}\alpha+\vektor{0\\3 \\ 2}\beta+\vektor{1\\-1 \\ 0}
[/mm]
stimmt das?
Danke!!!
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Hallo entchen,
> also beim Gleichsetzen bekomme ich dann
> [mm]x_1-x_2+1=0[/mm]
> raus.
>
> damit wäre dann die Ebene:
> [mm]\vektor{1\\2 \\ 2}\alpha+\vektor{0\\3 \\ 2}\beta+\vektor{1\\-1 \\ 0}[/mm]
>
> stimmt das?
Leider stimmt das nicht. Poste deshalb mal die Rechenschritte, wie Du darauf gekommen bist.
> Danke!!!
Gruß
MathePower
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> Hallo entchen!
>
> > Ich habe als erstes jeweils die beiden Gleichungen
> > innerhalb von g und h gleichgesetzt.
>
>
.... oder doch eher ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ¿
>
> > oder soll man da irgendwie Fallunterscheidung machen?
>
> Nö!
>
> > Dann haben die beiden Geraden aber eine Schnittgerade und
> > das kann doch nicht sein oder?
>
> Naja ... wenn, dann haben die beiden Geraden einen
> gemeinsamen Schnittpunkt!
>
> Und diesen Schnittpunkt kannst Du nun als Stützpunkt für
> die gesuchte Ebene verwende und die beiden
> Richtungsvektoren der Geraden als Ebenenrichtungsvektoren.
>
> > In der Koordinatenform oder doch die Parameterform?
>
> Damit hast du dann die Parameterform ...
>
> Gruß
> Loddar
>
hallo beide !
das Problem, das hier auftritt, ist folgendes:
| Aufgabe | Man ermittle die Ebene, in der die Geraden
g: [mm] \begin{cases} 2x_1+3x_2-x_3-1=0 \\ x_1+x_2-3x_3=0 \end{cases} [/mm]
und
h: [mm] \begin{cases} x_1+5x_2+4x_3-3=0 \\ x_1+2x_2+2x_3-1=0 \end{cases} [/mm]
liegen |
Die beiden Gleichungen, welche zusammen die Gerade g bestimmen, sind
die Gleichungen von zwei Ebenen, deren Schnittgerade g ist. Wenn man
nun "diese beiden Gleichungen gleichsetzt", also aus den zwei separaten
Gleichungen eine neue macht, indem man ihre linken Seiten gleichsetzt
(und dabei die rechten Seiten ignoriert !):
[mm] 2x_1+3x_2-x_3-1= x_1+x_2-3x_3
[/mm]
so entsteht zusammengefasst eine neue Gleichung:
[mm] x_1+2x_2+2x_3-1=0
[/mm]
dies ist aber keineswegs die gesuchte Geradengleichung, sondern die
Gleichung einer weiteren Ebene, welche mit den ersten beiden
Ebenen die gemeinsame Schnittgerade g hat.
Tut man dasselbe mit den beiden Ebenengleichungen aus der Definition
von h, entsteht:
[mm] 3x_2+2x_3-2=0
[/mm]
Diese Gleichung beschreibt eine weitere Ebene. Wenn man nun diese
letzten beiden "Gleichungen gleichsetzt", kommt man zu einer siebten
Ebenengleichung:
[mm] x_1+2x_2+2x_3-1=3x_2+2x_3-2
[/mm]
bzw. [mm] x_1-x_2+1=0
[/mm]
Diese Ebene (nicht Gerade !) hat nun aber mit der eigentlich zu
lösenden Aufgabe praktisch nichts mehr zu tun. Bei jedem
"Gleichsetzen von Ebenengleichungen" geht nämlich wertvolle
Information verloren. Mit anderen Worten: diese "Methode" ist
(wenigstens hier) ein Holzweg...
LG al-Chwarizmi
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> Man ermittle die Ebene, in der die Geraden
> g: [mm]\begin{cases} 2x_1+3x_2-x_3-1=0 \\ x_1+x_2-3x_3=0 \end{cases}[/mm]
>
> und
> h: [mm]\begin{cases} x_1+5x_2+4x_3-3=0 \\ x_1+2x_2+2x_3-1=0 \end{cases}[/mm]
>
> liegen
> So, also irgendwie check ich nicht so ganz, wie das
> funktionieren soll. bzw. ob ich die Aufgabenstellung
> richtig verstanden habe.
> Ich habe als erstes jeweils die beiden Gleichungen
> innerhalb von g und h gleichgesetzt. oder soll man da
> irgendwie Fallunterscheidung machen?
> Dann haben die beiden Geraden aber eine Schnittgerade und
> das kann doch nicht sein oder?
> Jetzt bin ich mir nicht wirklich darüber im Klaren, wie
> ich die Ebene daraus bestimmen soll. In der Koordinatenform
> oder doch die Parameterform?
hallo entchen,
die beiden Geraden g und h sind hier ja in etwas ungewohnter
Weise definiert, nämlich jede der beiden ist als Schnittgerade
zweier Ebenen definiert. Weiter wird (implizit) behauptet, dass
g und h in einer gemeinsamen Ebene liegen. Damit dies der
Fall ist, gibt es 2 Möglichkeiten: a) g und h sind parallel oder
b) g und h haben einen Schnittpunkt.
Ich würde dir empfehlen, zunächst einmal für g und für h je
einen Richtungsvektor zu berechnen. Das geht am besten
mittels Vektorprodukt: g muss z.B. senkrecht zu den Normalen-
vektoren der beiden Ebenen stehen, welche in der Definition
von g vorkommen.
Wenn du die beiden Richtungsvektoren für g und h hast, brauchst
du noch einen Stützpunkt, um die gesuchte Ebene darzustellen.
Es steht dir frei, dann von einer Parameterdarstellung auszu-
gehen oder via Normalenform direkt zur Koordinatengleichung
zu kommen.
al-Chw.
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