Gerade an Ebene spiegeln < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 So 22.01.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | F: [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 8}*[\vec{x}-\vektor{1 \\ 2 \\ -8}]=0
[/mm]
[mm] g:\vec{x}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\vektor{-2 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Durch eine Spiegelung an der Ebene F wird die Gerade g auf g' abgebildet. Bestimmen sie eine Gleichung von g'. |
Hallo.
Das allgemeine vorgehen:
I) Ich bestimme den Schnittpunkt der Ebene und der Geraden. Punkt 1 für g'.
II) Ich baue eine Hilfsgerade (Ortsvektor der Geraden + s Normalenvektor). Dann berechne ich den Schnittpunkt mit der Ebene. Nennen wir ihn F.
III) Ich bilde mit dem Ortsvektor der Geraden und dem Lotfußpunkt F einen Vektor.
IV) Diesen ziehe ich zweimal vom Ortsvektor ab. Punkt 2 für g'.
I)Ich bestimme den Schnittpunkt der Ebene und der Geraden. Punkt 1 für g'.
F: [mm] \vektor{1 \\ -4 \\ 8}*[\vec{x}-\vektor{1 \\ 2 \\ -8}]=0
[/mm]
Von der Normalenform in die Koordinatenform
F: [mm] x_1 [/mm] - [mm] 4x_2 +8x_3 [/mm] = -71
[mm] g:\vec{x} [/mm] in die Koordinatenform
(2-2r)-4(-r)+8(1+2r) = -71
2-2r+4r+16r+8 = -71
10 +18r = -71
r = - [mm] \bruch{9}{2}
[/mm]
In [mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}- \bruch{9}{2}\vektor{-2 \\ -1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{11 \\ 4,5 \\ -8}
[/mm]
S(11|4,5|-8)
II) Ich baue eine Hilfsgerade (Ortsvektor der Geraden + s Normalenvektor). Dann berechne ich den Schnittpunkt mit der Ebene. Nennen wir ihn F.
[mm] h:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}+s\vektor{1 \\ -4 \\ 8}
[/mm]
Bevor ich so schön weiterrechne, ist das soweit richtig???? ICh habe mich schon 100 mal bei der Aufgabe verrechnet.
Grüße Phoney
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Hi, phoney,
> F: [mm]\vektor{1 \\ -4 \\ 8}*[\vec{x}-\vektor{1 \\ 2 \\ -8}]=0[/mm]
>
> [mm]g:\vec{x}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\vektor{-2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
> Durch eine Spiegelung an der Ebene F wird die Gerade g auf
> g' abgebildet. Bestimmen sie eine Gleichung von g'.
> Hallo.
> Das allgemeine vorgehen:
>
> I) Ich bestimme den Schnittpunkt der Ebene und der Geraden.
> Punkt 1 für g'.
>
> II) Ich baue eine Hilfsgerade (Ortsvektor der Geraden + s
> Normalenvektor). Dann berechne ich den Schnittpunkt mit der
> Ebene. Nennen wir ihn F.
>
> III) Ich bilde mit dem Ortsvektor der Geraden und dem
> Lotfußpunkt F einen Vektor.
>
> IV) Diesen ziehe ich zweimal vom Ortsvektor ab. Punkt 2 für
> g'.
Alles OK!
> I)Ich bestimme den Schnittpunkt der Ebene und der Geraden.
> Punkt 1 für g'.
>
> F: [mm]\vektor{1 \\ -4 \\ 8}*[\vec{x}-\vektor{1 \\ 2 \\ -8}]=0[/mm]
>
> Von der Normalenform in die Koordinatenform
>
> F: [mm]x_1[/mm] - [mm]4x_2 +8x_3[/mm] = -71
Stimmt!
> [mm]g:\vec{x}[/mm] in die Koordinatenform
>
> (2-2r)-4(-r)+8(1+2r) = -71
>
> 2-2r+4r+16r+8 = -71
>
> 10 +18r = -71
>
> r = - [mm]\bruch{9}{2}[/mm]
>
> In [mm]g:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}- \bruch{9}{2}\vektor{-2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> = [mm]\vektor{11 \\ 4,5 \\ -8}[/mm]
>
> S(11|4,5|-8)
Richtig!
> II) Ich baue eine Hilfsgerade (Ortsvektor der Geraden + s
> Normalenvektor). Dann berechne ich den Schnittpunkt mit der
> Ebene. Nennen wir ihn F.
>
> [mm]h:\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+s\vektor{1 \\ -4 \\ 8}[/mm]
>
> Bevor ich so schön weiterrechne, ist das soweit richtig????
> ICh habe mich schon 100 mal bei der Aufgabe verrechnet.
Ja! Bis dahin stimmt's!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 So 22.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Zwerglein.
Vielen Dank für das Nachgucken. Aber ich glaube, dass weitere Rechnen spare ich mir.
Auch dankeschön für das Prüfen der allgemeinen Ansätze, bei denen ich seeeeehr unsicher war.
Grüße,
Phoney
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