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Gerade/Ungerade Funktionen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Do 24.01.2008
Autor: thb

Aufgabe
[mm] \begin{gathered} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \hfill \\ f{\text{ gerade}}{\text{, falls }}f( - t) = f(t)\,{\text{und }}f{\text{ ungerade}}{\text{, falls }}f( - t) = - f(t){\text{, }}t \in \mathbb{R}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Z}}{\text{.z}}{\text{.:}} \hfill \\ {\text{1}}{\text{.) }}f{\text{ diff'bar und gerade }} \Rightarrow {\text{ }}f'{\text{ ungerade}} \hfill \\ {\text{2}}{\text{.) }}f{\text{ diff'bar und ungerade }} \Rightarrow {\text{ }}f'{\text{ gerade}} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]  

Hallo allerseits.
Es geht um gerade bzw. ungerade Funktionen und wie sich dies beim Ableiten verhalten.
Ich hab schon was zustande gebracht aber fürchte, dass das noch nicht ganz schlüßig ist...bitte gibt mir ein Tipp.
[mm] \begin{gathered} {\text{Ist }}f{\text{ an einer beliebigen Stelle }}a > 0{\text{ diff'bar so ex}}{\text{. }}\mathop {\lim }\limits_{t \to a} \frac{{f(t) - f(a)}} {{t - a}} = f'(a). \hfill \\ {\text{Fü r - }}a{\text{ gilt dann enstprechend: Es ex}}{\text{.: }}\mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f( - a)}} {{t - ( - a)}} = f'( - a). \hfill \\ {\text{Mit }}f( - a) = f(a){\text{ gilt dann:}} \hfill \\ f'( - a) = \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f( - a)}} {{t - ( - a)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f(a)}} {{t + a}} = - \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(a) - f(t)}} {{t + a}} = - f'(a){\text{.}} \hfill \\ \Rightarrow {\text{ }}f'{\text{ ungerade}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Ist }}f{\text{ an einer beliebigen Stelle }}a > 0{\text{ diff'bar so ex}}{\text{. }}\mathop {\lim }\limits_{t \to a} \frac{{f(t) - f(a)}} {{t - a}} = f'(a). \hfill \\ {\text{Fü r - }}a{\text{ gilt dann enstprechend: Es ex}}{\text{.:}}\mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f( - a)}} {{t - ( - a)}} = f'( - a). \hfill \\ {\text{Mit }}f( - a) = - f(a){\text{ gilt dann:}} \hfill \\ f'( - a) = \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) - f( - a)}} {{t - ( - a)}}{\text{ = }}\mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(t) + f(a)}} {{t + a}}{\text{ = }}f'(a){\text{.}} \hfill \\ \Rightarrow {\text{ }}f'{\text{ gerade}}{\text{.}} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]


        
Bezug
Gerade/Ungerade Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Do 24.01.2008
Autor: ullim

Hi,

wenn f gerade ist, dann folgt,

[mm] \bruch{d}{dt}f(-t)=-\bruch{d}{dt}f(-t)=-\bruch{d}{dt}f(t) [/mm]

also ist f' ungerade


wenn f ungerade ist, dann folgt

[mm] \bruch{d}{dt}f(-t)=-\bruch{d}{dt}f(-t)=\bruch{d}{dt}f(t) [/mm]

also ist f' ungerade.


mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Gerade/Ungerade Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Do 24.01.2008
Autor: thb

Hallo und danke für die rasche Antwort. Die Frage war eigentlich nur, ob mein Ausführungen auch zulässig und schlüssig sind.

Bezug
        
Bezug
Gerade/Ungerade Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Do 24.01.2008
Autor: leduart

Hallo
Dein Weg ist auch richtig, allerdings find ich die Stelle:
[mm] $\mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{f(t) - f(a)} [/mm] {t + a} = - [mm] \mathop {\lim }\limits_{t \to - a} \frac{{f(a) - f(t)}} [/mm] {{t + a}} $
etwas kritisch. das ist zwar richtig, mit t=a+h bzw t=a-h usw, wärs aber klarer, sonst musst dus erklären, ich weiss aber nicht, wie das dein Korrektor sieht.
Gruss leduart

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