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| Aufgabe | Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und B(1,2,5).
Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und R(-1,-4,1).
Die Ebene [mm] E_{3} [/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine Ebene der Schar [mm] E_{a} [/mm] mit der Gleichung [mm] [\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0. [/mm] a Element R
2.2.1
Geben Sie eine Gleichung der Ebene F an und untersuchen Sie die Lage der Geraden g zur Ebene F.
Die Ebene F schneidet die drei Koordinatenachsen [mm] S_{x},S_{y},S_{z}.
[/mm]
Weisen Sie nach, dass das Dreieck mit den Eckpunkten [mm] S_{x},S_{y} [/mm] und [mm] S_{z} [/mm] gleichseitig ist. |
g: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1\\3}+r \vektor{-1 \\ 1\\2}
[/mm]
F: [mm] \vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+r \vektor{2\\ 1\\-1}+s \vektor{-4\\ -5\\-1}
[/mm]
I x= 3+2r-4s
II y= 1 +r -5s
III z= 2 -r -s
II+III
II*2-I
y+z= 3-6s
2y-x-y=-1-6s
x+y+z=4
[mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 1\\1} \vec{m}=\vektor{-1 \\ 1\\2} \vec{n}*\vec{m}=2
[/mm]
1(2-r)+1(1+r)+1(3+2r)=4
6+2r=4
r=-1
in g
S(3,0,1) -> LGS hat genau eine Lösung, ein gemeinsamer Punkt(Schnittpunkt)
Reicht das um die Lage zu beschreiben?
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> Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2,1,3) und
> B(1,2,5).
> Die Ebene F enthält die Punkte P(3,1,2), Q(5,2,1) und
> R(-1,-4,1).
> Die Ebene [mm]E_{3}[/mm] mit der Gleichung 3x+y+z-4=0 ist eine
> Ebene der Schar [mm]E_{a}[/mm] mit der Gleichung [mm][\vec{x}- \vektor{-1 \\ 1\\6}]*\vektor{a \\ a-2\\1}=0.[/mm]
> a Element R
>
> 2.2.1
> Geben Sie eine Gleichung der Ebene F an und untersuchen
> Sie die Lage der Geraden g zur Ebene F.
> Die Ebene F schneidet die drei Koordinatenachsen
> [mm]S_{x},S_{y},S_{z}.[/mm]
> Weisen Sie nach, dass das Dreieck mit den Eckpunkten
> [mm]S_{x},S_{y}[/mm] und [mm]S_{z}[/mm] gleichseitig ist.
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 1\\3}+r \vektor{-1 \\ 1\\2}[/mm]
>
> F: [mm]\vec{x}=\vektor{3 \\ 1\\2}+r \vektor{2\\ 1\\-1}+s \vektor{-4\\ -5\\-1}[/mm]
>
> I x= 3+2r-4s
> II y= 1 +r -5s
> III z= 2 -r -s
> II+III
> II*2-I
> y+z= 3-6s
> 2y-x-y=-1-6s
>
> x+y+z=4
hier versteckt sich ein Fehler und in obigen Gleichungen auch. es muß heißen:
2y-x=-1-6s
und in der Ebene heißt es x-y+z=4 (kannst du auch selbst nachprüfen, setze deinen startpunkt der parametergleichung in die ebene ein. Deine Lösung: 3+1+2 [mm] \not= [/mm] 4. Meine Lösung 3-1+2=4 )
>
> [mm]\vec{n}=\vektor{1 \\ 1\\1} \vec{m}=\vektor{-1 \\ 1\\2} \vec{n}*\vec{m}=2[/mm]
>
> 1(2-r)+1(1+r)+1(3+2r)=4
> 6+2r=4
> r=-1
> in g
>
> S(3,0,1) -> LGS hat genau eine Lösung, ein gemeinsamer
> Punkt(Schnittpunkt)
>
>
> Reicht das um die Lage zu beschreiben?
>
Der Lösungsweg ist richtig, aber du hast ihn leider mit der falschen ebenengleichung gemacht. versuche ihn nochmla nachzuvollziehen. meiner meinung nach dürfte sich g und E aber nicht schneiden. Widerlege meine meinung oder beweise sei ;)
liebe grüße
Susann
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[mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ -1\\1} [/mm]
[mm] \vec{m}=\vektor{-1 \\ 1\\2} \vec{n}*\vec{m}= [/mm] 0
Wenn F: [mm] \vec{x}= [/mm] x-y+z=4
dann 1(2-r)-1(1+r)+1(3+2r)=4
4=4
und was bedeutet das?
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Das ist doch eine immer wahre Aussage, oder?
du hast geprüft, ob sich g und E schneiden und es kommt etwas immer wahres raus.
überleg mal.....
welche lagemöglichkeiten kann eine ebene und eine gerade haben?
es sind 3, nämlich
1) schnitt in einem punkt
2) ....
3) ....
mach nen vorschlag :)
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1) schnitt in einem punkt
2) liegt in E
3) parallel zu E
Meiner Meinung nach liegt in E, oder?
Gruß Steffie
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Das ist richtig! Prima :)
denn wenn sie sich schneiden, dann hast du ein ergebnis der form r= (zahl)
wenn sie sich nicht schneiden kommt eine aussage der form 5=0 oder generell eine falsche aussage raus.
udn in dem fall einer immer wahren aussage ist g eine Teilmenge der ebene, das heißt sie liegt in der ebene...
liebe grüße
Susann
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| Aufgabe | Geben Sie eine Gleichung der Ebene F an und untersuchen Sie die Lage der Geraden g zur Ebene F.
Die Ebene F schneidet die drei Koordinatenachsen
Weisen Sie nach, dass das Dreieck mit den Eckpunkten und gleichseitig ist. |
F schneidet die drei Koordinatenachsen
F: [mm] \vec{x}= [/mm] x-y+z=4
[mm] S_{x}(4,0,0)
[/mm]
[mm] S_{y}(0,-4,0)
[/mm]
[mm] S_{z}(0,0,4)
[/mm]
wie weise ich nach, dass das Dreieck mit den Eckpunkten und gleichseitig ist?
Gruß Steffie
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Was gilt denn für ein Kriterium für ein gleichseitiges Dreieck? ganz einfach gedacht, das weißt du schon seit der 4 Klasse und der Begriff sagts dir auch schon selbst.....
und wie kann dir die Vektorrechnung helfen?
geh selbst einen Schritt und ich sage dir ob deine überlegung richtig sind....
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gleichseitiges Dreieck= alle Höhen, Seitenhalbierenden und Wunkelhalbierenden sind gleich lang -> alle Seiten sind gleich lang
weiß nicht wie ich das nachweisen soll!
Kannst du mir helfen?
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sorry, war grade mit pascal abgelenkt :(
nun, du hast die eckpunkte doch mit vektoren gegeben.
stell dir eine seite als vektor auf. (endpunkt-anfangspunkt, aber das weißt du ja)
wenn du jetzt noch überlegst, wie du die länge eines vektors rausbekommst, hast doch schon fast gewonnen, oder? :)
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F schneidet die drei Koordinatenachsen
F: x-y+z=4
[mm] S_{x}(4,0,0)
[/mm]
[mm] S_{y}(0,-4,0)
[/mm]
[mm] S_{z}(0,0,4)
[/mm]
wenn ich davon jeweils den Betrag bilde also die Länge erhalte ich 4cm.
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Fr 14.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Jetzt musst du noch die Vektoren [mm] \overrightarrow{S_{x}S_{y}} [/mm] , [mm] \overrightarrow{S_{y}S_{z}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{S_{z}S_{x}} [/mm] betrachten, und zeigen, dass diese gleichlang sind, dann hast du gezeigt, dass das Dreieck gleichseitig ist.
(Alternativ könntest du auch die Schnittwinkel bestimmen, sind sie alle 60°, ist das Dreieck auch gleichseitig, aber da du dafür auch die Länge bräuchtest, geht der Längenvergleich schneller.)
Marius
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[mm] g_{xy}: \vec{x}= \vektor{4 \\ 0\\0}+r\vektor{-4 \\ 4\\0}
[/mm]
[mm] g_{yz}: \vec{x}= \vektor{0 \\ 4\\0}+r\vektor{0 \\ 4\\4}
[/mm]
[mm] g_{xz}: \vec{x}= \vektor{4\\ 0\\0}+r\vektor{-4 \\ 0\\4}
[/mm]
und dann?
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Hallo, du hast den Punkt [mm] S_x [/mm] (4; 0; 0) und [mm] S_y [/mm] (0; -4; 0), daraus ergibt sich der Vektor [mm] \overrightarrow{S_xS_y}=\vektor{-4 \\ -4 \\ 0}, [/mm] davon jetzt den Betrag berechnen, dann die anderen Vektoren, Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Fr 14.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]g_{xy}: \vec{x}= \vektor{4 \\ 0\\0}+r\vektor{-4 \\ 4\\0}[/mm]
>
> [mm]g_{yz}: \vec{x}= \vektor{0 \\ 4\\0}+r\vektor{0 \\ 4\\4}[/mm]
>
> [mm]g_{xz}: \vec{x}= \vektor{4\\ 0\\0}+r\vektor{-4 \\ 0\\4}[/mm]
>
> und dann?
Wozu stellst du die Geraden auf? Du sollst die Länge der drei Vektoren vergleichen, um zu zeigen, dass das Dreieck mit den Eckpunkten [mm] S_{x} [/mm] , [mm] S_{y} [/mm] und [mm] S_{z} [/mm] gleichseitig ist.
Also [mm] \overrightarrow{S_{x}S_{y}}=\vektor{-4\\-4\\0}
[/mm]
Also [mm] |\overrightarrow{S_{x}S_{y}}|=\left|\vektor{-4\\-4\\0}\right|=\wurzel{(-4)²+(-4)²+0²}=\wurzel{32}
[/mm]
Und jetzt bestimme die Länge der Vektoren [mm] \overrightarrow{S_{y}S_{z}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{S_{z}S_{x}}
[/mm]
Marius
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es kommt immer [mm] \wurzel{32} [/mm] raus!
Mehr brauch ich nicht schreiben?
Danke, Gruß steffie
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Hallo, so ist es, schreibe aber bitte in einem Antwortsatz dazu, was das jetzt bedeutet, Steffi
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