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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 So 30.10.2011 | | Autor: | sergnant |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \summe_{i=0}^{6}2/3^{k-1} [/mm] und
[mm] \summe_{i=1}^{4}(2/3)^{k-2}
[/mm]
mithilfe der geometrischen Summenformel. |
Hallo,
mein Problem liegt in der ersten Teilaufgabe der Aufgabe. Ich weiß das ich die Formel :
q^(n+1)-1/q-1 benutzen soll, jedoch weiß ich nicht genau was ich für q einsetzen muss. Die zweite Teilaufgabe konnte ich mithilfe der Formel:
[mm] q^{n+1}-q^m/q-1
[/mm]
erfolgreich lösen (für q habe ich 2/3 eingesetzt.)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
M.f.G.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 So 30.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.du summierst über i, in der Summe kommt nor k vor?
2. was du über b) sagst scheint mir falsch.
schreib die Summen um, so dass sie bei k=0 anfangen,dann klammer aus, was die Summe on der geom. Reihe unterscheidet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 30.10.2011 | | Autor: | sergnant |
Vielen Dank für die schnelle Antwort:
zu a) Natürlich sollte es heissen : 2/3^(i-1)
zu b) Ich hab erstmal die Summe von 1-4 errechnet, und dann die summe von 0-1 abgezogen. Bei dieser Aufgab komme ich auch auf das richtige Ergebnis
M.f.G
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Hallo sergnant,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort:
> zu a) Natürlich sollte es heissen : 2/3^(i-1)
Ist wirklich [mm]\frac{2}{3^{i-1}}[/mm] gemeint? Oder doch eher [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^{i-1}[/mm]
Wenn ersteres gemeint ist, kannst du die 2 herausziehen und hast [mm]2\cdot{}\sum\limits_{i=0}^{6}\frac{1}{3^{i-1}}[/mm]
Dann beachte, dass [mm]\frac{1}{3^{i-1}}=\frac{3}{3^{i}}[/mm] ist, du kannst also wieder 3 rausziehen und
bekommst [mm]..=6\cdot{}\sum\limits_{i=0}^{6}\left(\frac{1}{3}\right)^{i}[/mm]
Und das kannst du doch mit der Formel schnell abhaken ...
>
> zu b) Ich hab erstmal die Summe von 1-4 errechnet, und dann
> die summe von 0-1 abgezogen. Bei dieser Aufgab komme ich
> auch auf das richtige Ergebnis
Das ist das prinzipiell das richtige Vorgehen! (Wenn im Exponenten [mm]i[/mm] steht - oder k, je nach Laufvariable))
Aber zeige sicherheitshalber mal die Rechnung, das kommt mir nach leduarts Hinweis nicht ganz koscher vor, was du sagst.
Hast du den Exponenten angepasst? Da stand ja [mm]i-2[/mm] und nicht [mm]i[/mm] ...
>
> M.f.G
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 30.10.2011 | | Autor: | sergnant |
Erstmal Vielen Dank! Die Aufgabe habe ich richtig abgeschrieben, du hast mir also geholfen! Ich habe leider nicht erkannt, das ich Herausziehen kann. Jetzt lässt sich 1/3 für q einsetzen und ich komme auf das richtige Ergebnis :).
Allerdings verstehe ich nicht ganz, warum
[mm] \bruch{1}{{3}^{i-1}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{{3}^{i}} [/mm] ist.
Für Aufgabenteil b) habe ich in die Formel [mm] q^n+1-1^m/q-1 [/mm] für [mm] q=\bruch{1}{3} [/mm] eingesetzt. Für m habe ich 1 eingesetzt. Anschließend habe ich von den Exponenten 2 abgezogen, da dies ja so in der Summenformel festgelegt wird. So erhalte ich: [mm] \bruch{(2/3)^{3}-(2/3)^{-1}}{2/3-1}.
[/mm]
Das Ergebnis ist dann: [mm] \bruch{65}{18}, [/mm] und entspricht der Lösung die ich erhalte, wenn ich die Aufgabe so wie sie dort steht, direkt in den Taschenrechner eingebe.
M.f.G
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 So 30.10.2011 | | Autor: | sergnant |
Da hat sich noch ein Fehler in die Formel eingeschlichen. Richitg heisst es: [mm] q^{n+1}-q^m/q-1
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Erstmal Vielen Dank! Die Aufgabe habe ich richtig
> abgeschrieben, du hast mir also geholfen! Ich habe leider
> nicht erkannt, das ich Herausziehen kann. Jetzt lässt sich
> 1/3 für q einsetzen und ich komme auf das richtige
> Ergebnis :).
> Allerdings verstehe ich nicht ganz, warum
> [mm]\bruch{1}{{3}^{i-1}}[/mm] = [mm]\bruch{3}{{3}^{i}}[/mm] ist.
Potenzgesetze aus der Unterstufe:
[mm]\frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^{m-n}}[/mm] hier mit [mm]a=3, n=1, m=i[/mm]
>
> Für Aufgabenteil b) habe ich in die Formel [mm]q^n+1-1^m/q-1[/mm]
> für [mm]q=\bruch{1}{3}[/mm] eingesetzt. Für m habe ich 1
> eingesetzt. Anschließend habe ich von den Exponenten 2
> abgezogen, da dies ja so in der Summenformel festgelegt
> wird. So erhalte ich: [mm]\bruch{(2/3)^{3}-(2/3)^{-1}}{2/3-1}.[/mm]
Hier hast du aber für [mm]m=-1[/mm] geschrieben.
Ich kenne die Formel so nicht, auch nicht nach deiner Anmerkung.
Ich kenne:
[mm]\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/mm]
Dein Ergebnis ist aber richtig ...
Wiede mit kleinen Umformungen:
[mm]\sum\limits_{k=1}^4\left(\frac{2}{3}\right)^{k-2}=\sum\limits_{k=0}^3\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}[/mm] Indexverschiebung
Nun ist [mm]\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\cdot{}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}=\frac{3}{2}\cdot{}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}[/mm]
Also [mm]...=\frac{3}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^3\left(\frac{2}{3}\right)^k[/mm]
Nun die Summenformel und du kommst zum Ergebnis ..
> Das Ergebnis ist dann: [mm]\bruch{65}{18},[/mm] und entspricht der
> Lösung die ich erhalte, wenn ich die Aufgabe so wie sie
> dort steht, direkt in den Taschenrechner eingebe.
> M.f.G
Gruß
schachuzipus
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