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Guten Abend allerseites!
Ich habe eine kleine Frage zum Thema geom. Folgen.
Eine Folge ist gegeben durch [mm] Cn=1/(n^2+1)
[/mm]
Monotonie, Beschränktit und Infimum/supremum sind zu bestimmen.
Die Lösung sieht es vor, q zu ermitteln und wenn 0<q<1 ist dann ist dies eine Nullfolge.
Für die normale geometrische Folge ist mir das auch klar! Jedoch ist doch bei dieser Folge der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder keine Konstante?
Wieso kann man also mit der geometr. Reihe argumentieren?
Ich denke dies ist relativ leicht zu erlären.. jedoch habe ich im moment ein Brett vorm Kopp.
Also vielen dank schon einmal für eure Hilfe ;)
Zur 2. Frage
Ein ähnliches Problem ist bei den Konvergenzkriterien für Reihen bei mir aufgetreten. Und zwar ging es hier um das Wurzel und Quotientenkriterium:
Gegeben ist : [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(2/k)^k [/mm]
Mein Lösungsansatz sieht so aus:
An= [mm] (2/k)^k [/mm] An+1= (2/k+1)^(k+1)
Daraus folgt An+1/An=q
Jetzt habe ich bei An+1 im Zähler die +1 weggelassen:
q= [mm] (2/k)^k [/mm] * [mm] \wurzel[k]{(2/k)^k} )/(2/k)^k [/mm] = (2/k)
daraus folgt [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] 2/k =0
Somit absolout konvergent!
Jetzt ist meine Frage: Ich habe wie oben geschrieben die +1 im Zähler von An+1 weggelassen und somit ist An+1 größer als der Bruch mit dem ich gerechnet habe. Das Majorantenkriterium erlaubt diesen Schritt doch oder??
Wenn etwas falsch ist oder wenn ihr es anders gerechnet hättet bitte sofort bescheid geben!
Ich freue mich schon auf Antworten
Gruß Jan
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> Ich habe eine kleine Frage zum Thema geom. Folgen.
> Eine Folge ist gegeben durch [mm]Cn=1/(n^2+1)[/mm]
> Monotonie, Beschränktit und Infimum/supremum sind zu
> bestimmen.
> Die Lösung sieht es vor, q zu ermitteln und wenn 0<q<1 ist
> dann ist dies eine Nullfolge.
> Für die normale geometrische Folge ist mir das auch klar!
> Jedoch ist doch bei dieser Folge der Quotient zweier
> aufeinander folgender Glieder keine Konstante?
> Wieso kann man also mit der geometr. Reihe argumentieren?
> Ich denke dies ist relativ leicht zu erlären.. jedoch habe
> ich im moment ein Brett vorm Kopp.
> Also vielen dank schon einmal für eure Hilfe ;)
Hallo,
wenn ich Dich recht verstehe, hast Du zu dieser Aufgabe eine Lösung vorliegen, die Du nicht verstehst.
Wenn wir Dir diesen Lösungsweg erklären sollen, mußt Du schon mitposten. Sonst kennen wir ihn ja nicht.
Mir fiele im Traum nicht ein, die Aufgabe mit irgendwelche geometrischen Folgen zu bearbeiten.
>
> Zur 2. Frage
> Ein ähnliches Problem ist bei den Konvergenzkriterien für
> Reihen bei mir aufgetreten. Und zwar ging es hier um das
> Wurzel und Quotientenkriterium:
> Gegeben ist : [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(2/k)^k[/mm]
> Mein Lösungsansatz sieht so aus:
> An= [mm](2/k)^k[/mm] An+1= (2/k+1)^(k+1)
> Daraus folgt An+1/An=q
> Jetzt habe ich bei An+1 im Zähler die +1 weggelassen:
Das müßtest Du mal genauer erklären. Welches +1 hast Du weggelassen, und was gibt Dir die Gewißheit, daß sich q dadurch nicht ändert?
Ich bin skeptisch...
Ich bitte Dich, bei Fortführung der Diskussion Indizes zu setzen und Bruchstriche zu verwenden.
Man kann es dann besser lesen.
Gruß v. Angela
> q= [mm](2/k)^k[/mm] * [mm]\wurzel[k]{(2/k)^k} )/(2/k)^k[/mm] = (2/k)
> daraus folgt [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] 2/k =0
> Somit absolout konvergent!
> Jetzt ist meine Frage: Ich habe wie oben geschrieben die +1
> im Zähler von An+1 weggelassen und somit ist An+1 größer
> als der Bruch mit dem ich gerechnet habe. Das
> Majorantenkriterium erlaubt diesen Schritt doch oder??
> Wenn etwas falsch ist oder wenn ihr es anders gerechnet
> hättet bitte sofort bescheid geben!
> Ich freue mich schon auf Antworten
> Gruß Jan
>
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Zur 1. Aufgabe:
Aufgabenstellung:Ein Folge [mm] Cn=1/(n^2+1) [/mm] ist gegeben
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit!
Lösung:
Es ist (c1,c2,c3,...)=(1,4/3,3/2,8/5....)
Vermutung: Cn ist streng monoton fallend.
[mm] \Rightarrow [/mm] Cn+1/Cn= [mm] (1/(n+1)^2+1)*((n^2 [/mm] +1)/1) [mm] \gdw (n^2+1)/(n^2+2n+2) [/mm] <1
[mm] \Rightarrow [/mm] Cn ist streng monoton fallend mit Supremum c1=1/2, Infimum=0 weil [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}Cn=0
[/mm]
Reicht das?
Zur 2. Aufgabe ... das hat sich für mich geklärt..
Gruß Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mo 10.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zur 1. Aufgabe:
> Aufgabenstellung:Ein Folge [mm]Cn=1/(n^2+1)[/mm] ist gegeben
> Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und
> Beschränktheit!
> Lösung:
> Es ist (c1,c2,c3,...)=(1,4/3,3/2,8/5....)
die haben ausser der 1 nichts mit [mm] \bruch{1}{n^2+1} [/mm] zu tun!
> Vermutung: Cn ist streng monoton fallend.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Cn+1/Cn= [mm](1/(n+1)^2+1)*((n^2[/mm] +1)/1) [mm]\gdw (n^2+1)/(n^2+2n+2)[/mm]
> <1
> [mm]\Rightarrow[/mm] Cn ist streng monoton fallend mit Supremum
> c1=1/2, Infimum=0 weil [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}Cn=0[/mm]
>
das durch Quotienten zu lösen ist ziemlich abgefahren, dass
[mm] \bruch{1}{n^2+1} >\bruch{1}{(n+1)^2+1} [/mm] ist zeigt man besser direkt.
dass n+1>n und damit [mm] (n+1)^2+1>n^2+1 [/mm] ist , ist so viel einfacher als diese Division, dass ich den Lösungsweg schlecht finde. Stammt der von nem Prof?
>
> Zur 2. Aufgabe ... das hat sich für mich geklärt..
Was du vorher zu 2 geschrieben hast, war ein wildes Durcheinander von verschiedenen Kriterien, also völlig falsch.
Gruss leduart
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Hi Leduart.
Der Lösungsweg stammt vom Prof, richtig vermutet!
Meine Lösung zur 2. Aufgabe war definitiv richtig!
Wenn man sich den Beweis des Wurzelkriteriums anschaut stellt man fest, dass dies mitunter vom Majorantenkriterium abhängt. Es ist also kein wildes Durcheinander ;)
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> Wenn man sich den Beweis des Wurzelkriteriums anschaut
> stellt man fest, dass dies mitunter vom Majorantenkriterium
> abhängt.
Hallo,
ich weiß jetzt nicht so recht, was Du mit "mintunter abhängt" meinst.
Das Wurzelkriterium folgt aus dem Majorantenkriterium.
> Es ist also kein wildes Durcheinander ;)
Naja, halbwild ist das aber schon...
Ein Hinweis auf eine gewisse Wildheit ist, daß Du hier das Wurzelkriterium erwähnst, es aber in Deinem Beweis nirgendwo verwendet hast - was nicht schlimm ist, Du nimmst halt das Quotientenkriterium. Möglicherweise war Dein Wunsch, irgendwas mit Wurzeln zu machen, so stark, daß Du [mm] \bruch{2}{k} [/mm] durch [mm] \wurzel[k]{(\bruch{2}{k})^k} [/mm] verkleidet hast innerhalb Deiner Berechnung fürs Quotientenkriterium.
Du könntest Dir nochmal überlegen, wie hübsch und bequem Du hier mit dem Wurzelkriterium zum Ziel kommst, und auch die Abschätzung durch eine Majorante ist recht leicht.
Man hat bei dieser Reihe viele funktionierende Möglichkeiten.
Gruß v. Angela
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Hallo!
ZUnächst einmal Danke.
Jedoch ist es doch so das egal ob Wurzel oder Quotientenkriterium beide das gleiche q liefern... ! Nur es lässt sich mit einen der beiden natürlich einfacher rechnen.
Könntest du mir vielleicht mal erklären wann und wieso ich das Quotienten/bzw Wurzelkriterium anwenden kann?
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> Könntest du mir vielleicht mal erklären wann und wieso ich
> das Quotienten/bzw Wurzelkriterium anwenden kann?
>
Hallo,
ich fürchte, ich kann Dir hier nur eine etwas unbefriedigende Antwort geben:
man wendet das an, was gut funktioniert, möglichst schnell und mühelos geht. Klappt das eine nicht, versucht man das andere...
Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium, so daß man in manchen Fällen, in denen das Quotientenkriterium versagt, mit dem Wurzelkriterium weiterkommt - welches auch manchmal versagt.
Gruß v. Angela
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