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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:58 Di 27.04.2010 | | Autor: | AlexCsee |
| Aufgabe | Zeichnet man von den vier Ecken eines Quadrats mit Seitenlänge 1 aus jedes Mal einen Kreisbogen, der die beiden gegenüberliegenden Eckpunkte verbindet, so entstehen in dem Quadrat neun Gebiete
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie groß ist der Flächeninhalt des mittleren, in der Abbildung grau gekennzeichneten Gebietes |
Guten Tag erst einmal,
ich habe zu dieser Aufgabe 2 mögliche Lösungsansätze, die aber lückenhaft sind:
1) Ich subtrahiere den Viertelkreis vom Quadrat --> Das Ergebniss dessen ziehe abermals zweifach vom Quadrat ab. Somit habe ich die Fläche des "Auges". Ab jetzt komme ich in meiner Lösung nicht mehr weiter, da ich bisher keinen Weg gefunden habe die übrig gebliebenen Flächen zu filtrieren.
2) Ich setze das Konstrukt in ein Koordinatensystem mit mit den Mittelpunkten der Einheitskreise M1(0/0), M2 (1/0), M3 (0/1), M4 (1/1), dann bestimme ich die jeweiligen Kreisgleichungen:
K1: x² + y² = 1
K2: (x-1)² + y² = 1
K3: x² + (y-1)² = 1
K4: (x-1)² + (y-1)² = 1
Beim Auflösen der Gleichungen nach y, um eine implizite Funktion zu bekommen, weiss ich allerdings nicht, welches Vorzeichen wohin kommt (Beim Wurzelziehen). Mein Ziel wäre es letztlich das Integral von 0 bis 1 von der Differenzfunktion zu errechnen. Meiner Meinung nach müsste dies dann die schraffierte Fläche ergeben.
Für Anreize oder Ergänzungen wäre ich sehr dankbar.
Schönen Gruß,
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:33 Di 27.04.2010 | | Autor: | statler |
Hi, guten Morgen! Und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zeichne mal aus einer Spitze der grauen Fläche und 2 Quadratecken ein gleichseitiges 3eck. An dieses 3eck grenzen 2 Kreissektoren mit 30° Zentrumswinkel, also ein 12telkreis. Diese Flächen kannst du alle ausrechnen, also auch das, was vom Quadrat übrigbleibt.
4mal dieser Rest + 2mal das Auge gibt das Quadrat + die graue Fläche.
Ich hoffe, ich habe mich auch ohne Bild verständlich ausgedrückt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Di 27.04.2010 | | Autor: | AlexCsee |
Vielen Dank erst einmal für die schnelle und hilfreiche Antwort. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann lässt sich zunächst einmal das oberste Gebiet ausrechnen. Wenn ich dann dies von dem Viertelkreis abziehe, dann kann ich ein Gleichungssystem aufstellen der Form:
K/4 = x (schraffierte Fläche) + 3y + 2z (die errechnete Fläche)
Q(Quadrat) = x + 4y + 4z
Somit kann ich dann die schraffierte Fläche berechnen, wenn ich mich nicht noch irgendwo vertan habe.
Eine Frage aus reinem Interesse hätte ich da noch:
Ist mein 2. Lösungsvorschlag völliger Humbuck?
Lieben Gruß
Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 27.04.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Vielen Dank erst einmal für die schnelle und hilfreiche
> Antwort. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann
> lässt sich zunächst einmal das oberste Gebiet ausrechnen.
> Wenn ich dann dies von dem Viertelkreis abziehe, dann kann
> ich ein Gleichungssystem aufstellen der Form:
> K/4 = x (schraffierte Fläche) + 3y + 2z (die errechnete
> Fläche)
>
> Q(Quadrat) = x + 4y + 4z
>
> Somit kann ich dann die schraffierte Fläche berechnen,
> wenn ich mich nicht noch irgendwo vertan habe.
Das ist wohl so.
> Eine Frage aus reinem Interesse hätte ich da noch:
> Ist mein 2. Lösungsvorschlag völliger Humbug?
Mir erschließt sich nicht so ganz, was du vorhattest. Auf jeden Fall kann man der Aufg. auch mit Integralrechnung beikommen. Du kannst z. B. aus den Kreisgleichungen die Schnittpunkte berechnen, wegen der Symmetrie reicht einer, und dann eine schulmäßige Flächenberechnung durchziehen.
Gruß
Dieter
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