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| Aufgabe | Lösen Sie das Bewegungsproblem eines Massepunktes auf einer geneigten Ebene (im Schwerefeld der Erde) mit Hilfe der kanonischen Gleichungen. Die Ebene soll auf die x-Achse stoßen und den Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] gegenüber der y-Achse haben.
ges: Bewegungsbeschränkung (BB), geeignete (genralisierte) Koordinaten, welche Koordinate ist zyklisch |
hey, könnt ihr mir evtl sagen, ob meine überlegung richtig ist, bzw. wie es richtig wäre??
BB: [mm] z=y*\tan\alpha (\tan\alpha [/mm] quasi Anstieg der ebene)
kann man als generalisierte Koordinaten nutzen:
[mm] x=r*\cos\phi
[/mm]
[mm] y=r*\sin\phi
[/mm]
z=z
oder was meint ihr???
mfg piccolo
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Hallo!
Das ist nicht so gut.
Generalisierte Koordinaten sollen das Problem vereinfachen und z.B. Zwangsbedingungen (Hier die Bewegung auf der Ebene) durch geschickte Koordinatenwahl möglichst "automatisch" einbauen.
In deinem Fall hast du eine zweidimensionale Bewegung im 3D Raum, daher kann die Position des Massepunktes durch zwei generalisierte Koordinaten angegeben werden. Naheliegend wäre, x als eine Koordinate zu nehmen, da entlang x keine Kräfte wirken, und eine Koordinate, die genau die Ebene hinaufzeigt, denn in der Richtung ist die Kraft maximal. Du hast also eine neue Koordinate [mm] s=f(y,z,\alpha) [/mm] . Du verwendest nun die Koordinaten x und s zur Lösung des Problems, und rechnest hinterher zurück auf x, y, z.
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ok, dass leuchtet mir ein, also beschreibt doch dann neben x die gleichung [mm] z=y*\tan\alpha [/mm] die generalisierte Koordinate. mir ist nun nicht ganz klar wie ich dass dann z.b mache, wenn ich zuerst die lagrangefunktion für kartesische koordinaten aufstelle und dann kann ich ja die generalisierten koordinaten da einsetzen. ich wähle also x=x, und wie definier ich jetzt genau y und z zum ersetzen???
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Hallo!
[mm]z=y*\tan\alpha[/mm]
enthält ja noch keine GK. Die GK sieht so aus: $ [mm] s=f(y,z,\alpha) [/mm] $ Aus s kannst du sowohl y als auch z bestimmen, genauso kannst du s aus y oder z bestimmen. Du hattest das schon fast da stehen!
die generalisierte
> Koordinate. mir ist nun nicht ganz klar wie ich dass dann
> z.b mache, wenn ich zuerst die lagrangefunktion für
> kartesische koordinaten aufstelle und dann kann ich ja die
> generalisierten koordinaten da einsetzen. ich wähle also
> x=x, und wie definier ich jetzt genau y und z zum
> ersetzen???
Naja, x und y kannst du getrennt aus der GK s berechnen, und das dann einsetzen.
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hmm irgendwie steh ich auf schlauch glaub ich, ist denn
[mm] z=y*\tan\alpha
[/mm]
und
[mm] y=\frac{z}{\tan\alpha} [/mm]
aber das wäre ja blödsinn... hmm ich versteh nicht so ganz wie deine funktion [mm] f(y,z,\alpha) [/mm] aussehen soll, kannst du mir das evtl nochmal erklären?? ich seh da immer nur [mm] z=z(y,\alpha)
[/mm]
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Hallo!
naja, wie wäre es mit
[mm] s=\frac{y}{\cos\alpha}=\frac{z}{\sin\alpha}=\sqrt{y^2+z^2} [/mm] ?
Dann hast du die generalisierten Koordinaten x und s.
eine Distanz D wird damit zu [mm] D^2=x^2+y^2+z^2=x^2+s^2, [/mm] geteilt durch die Zeit ist das der Geschwindigkeitsbetrag. und damit gilt für die kin Energie eben auch [mm] $\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(\dot x^2+\dot s^2)$ [/mm] Naja, die pot. Energie ergibt sich über z und daher [mm] mgs\sin{\alpha}
[/mm]
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ahh, ok, das is jetzt einleuchtend, auch mit ner skizze, danke nochmals
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