Gemeinsame Verteilung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Do 19.11.2009 | | Autor: | nikinho |
| Aufgabe | Seien X1,...,Xn unabhängige Zufallsvariablen mit derselben Verteilungsfunktion F und n aus [mm] \IN [/mm] beliebig. Wir definieren
Mn = max(Xi), mn = min(Xi).
a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion von (Mn,mn)
Hinweis: Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeiten P(Mn <= x, mn > y) für x,y aus [mm] \IR
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass Mn und mn genau dann stochastisch unabhängig sind, wenn ein a aus [mm] \IR [/mm] existiert, sodass F(x) = [mm] I_[a,\infty) [/mm] (x) |
Hallo!
Erstmal geht's mir nur um die a).
Ich wollte da erstmal den Hinweis benutzen und habe dann so angefangen:
P(Mn<= x, mn>y) = P(Mn <=x) P(mn>y) = F(x) * (1- F(y).
Mn und mn haben ja dieselbe Verteilungsfunktion F und die erste Gleichheit folgt aus der Unabhängigkeit.
Aber wie kann ich jetzt daraus auf die gemeinsame Verteilung schließen? Habe das Prinzip glaube ich noch nicht so ganz verstanden!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien X1,...,Xn unabhängige Zufallsvariablen mit derselben
> Verteilungsfunktion F und n aus [mm]\IN[/mm] beliebig. Wir
> definieren
> Mn = max(Xi), mn = min(Xi).
>
> a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion von
> (Mn,mn)
>
> Hinweis: Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeiten P(Mn <= x,
> mn > y) für x,y aus [mm]\IR[/mm]
>
> Erstmal geht's mir nur um die a).
> Ich wollte da erstmal den Hinweis benutzen und habe dann
> so angefangen:
> P(Mn<= x, mn>y) = P(Mn <=x) P(mn>y) = F(x) * (1- F(y).
> Mn und mn haben ja dieselbe Verteilungsfunktion F und die
> erste Gleichheit folgt aus der Unabhängigkeit.
Vorsicht! Die [mm] $X_i$ [/mm] sind unabhaengig, aber nicht [mm] $M_n$ [/mm] und [mm] $m_n$! [/mm] Die sind gerade nicht unabhaengig, womit [mm] $P(M_n \le [/mm] x, [mm] m_n [/mm] > y) = [mm] P(M_n \le [/mm] x) [mm] P(m_n [/mm] > y)$ i.A. nicht gilt.
Ueberleg dir lieber, was es heisst, dass das Maximum [mm] $\le [/mm] x$ ist. Das bedeutet doch, dass alle [mm] $X_i \le [/mm] x$ sind. Damit kannst du [mm] $M_n \le [/mm] x$ durch [mm] $X_1 \le [/mm] x, [mm] X_2 \le [/mm] x, [mm] \dots, X_n \le [/mm] x$ ersetzen.
Und was bedeutet es nun, dass das Minimum $> y$ ist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 19.11.2009 | | Autor: | nikinho |
Okay, die Vermutung, dass Mn und mn nicht unabhängig sind, hatte ich aufgrund der b) auch schon, aber verstehen tu ich es nicht so ganz (außer im Fall n=1, weil da sind sie ja gleich...).
Also so angesetzt hatte ich auch schon:
P(Mn [mm] \le [/mm] x) = P(X1 [mm] \le [/mm] x,..., Xn [mm] \le [/mm] x) = F(x)
und P(mn > y) = 1 - (Pmn [mm] \le [/mm] y) = 1- (X1 [mm] \le [/mm] y,....Xn [mm] \le [/mm] y) = 1-F(y).
Aber jetzt weiß ich wieder nicht wie ich das zusammenbastel. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Okay, die Vermutung, dass Mn und mn nicht unabhängig sind,
> hatte ich aufgrund der b) auch schon, aber verstehen tu ich
> es nicht so ganz (außer im Fall n=1, weil da sind sie ja
> gleich...).
>
> Also so angesetzt hatte ich auch schon:
>
> P(Mn [mm]\le[/mm] x) = P(X1 [mm]\le[/mm] x,..., Xn [mm]\le[/mm] x) = F(x)
Das ist nicht $F(x)$.
> und P(mn > y) = 1 - (Pmn [mm]\le[/mm] y) = 1- (X1 [mm]\le[/mm] y,....Xn [mm]\le[/mm]
> y) = 1-F(y).
Und das ist nicht $1 - F(y)$. Mal abgesehen davon dass das zweite Gleichheitszeichen ebenso Quark ist.
Wenn das Minimum $> y$ ist, dann sind alle [mm] $X_i [/mm] > y$.
Nemen wir mal den Fall $n = 2$. Dann hast du ja [mm] $P(M_n \le [/mm] x, [mm] m_n [/mm] > y) = [mm] P(X_1 \le [/mm] x, [mm] X_2 \le [/mm] x, [mm] X_1 [/mm] > y, [mm] X_2 [/mm] > y) = P(y < [mm] X_1 \le [/mm] x, y < [mm] X_2 \le [/mm] x) = P(y < [mm] X_1 \le [/mm] x) P(y < [mm] X_2 \le [/mm] x)$ wegen der Unabhaengigkeit. Und dann...?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 19.11.2009 | | Autor: | nikinho |
okay also P( Mn [mm] \le [/mm] x, mn > y) = P(X1 [mm] \le [/mm] x , ... Xn [mm] \le [/mm] x, X1 > y, ... Xn > y)
= P(y< X1 [mm] \le [/mm] x) * ... * P(y< Xn [mm] \le [/mm] x)
= (F(x) - F(y)) * .... * (F(x) - F(y))
= (F(x)-F(y)) ^n
aber wie mir das jetzt weiterhilft hab ich noch nicht verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Peon |
Hey, kannst du mir erklären wie du von:
P(y< [mm] X_{1} \le [/mm] x)...P(y< [mm] X_{n} \le [/mm] x) auf (F(x)-F(y))...(F(x)-F(y)) kommst
Ich glaube mir ist grad klar geworden wie man auf die o.g. Gleichheit kommt.
Aber ist dann die VF einfach [mm] (F(x)-F(y))^{n} [/mm] so wie oben von nikinho erwähnt?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:12 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hey, kannst du mir erklären wie du von:
>
> P(y< [mm]X_{1} \le[/mm] x)...P(y< [mm]X_{n} \le[/mm] x) auf
> (F(x)-F(y))...(F(x)-F(y)) kommst
Es ist $P(y < [mm] X_1 \le [/mm] x) = [mm] P(\{ X_1 \le x \} \setminus \{ X_1 \le y \}) [/mm] = [mm] P(X_1 \le [/mm] x) - [mm] P(X_1 \le [/mm] y) = F(x) - F(y)$, da [mm] $\{ X_1 \le y \}$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\{ X_1 \le x \}$ [/mm] ist (falls $y [mm] \le [/mm] x$).
> Aber ist dann die VF einfach [mm](F(x)-F(y))^{n}[/mm] so wie oben
> von nikinho erwähnt?
Nein.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:10 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> okay also P( Mn [mm]\le[/mm] x, mn > y) = P(X1 [mm]\le[/mm] x , ... Xn [mm]\le[/mm] x,
> X1 > y, ... Xn > y)
>
> = P(y< X1 [mm]\le[/mm] x) * ... * P(y< Xn [mm]\le[/mm] x)
> = (F(x) - F(y)) * .... * (F(x) - F(y))
> = (F(x)-F(y)) ^n
Genau, zumindest falls $y [mm] \le [/mm] x$ ist. Aber fuer $y > x$ ist die Wahrscheinlichkeit eh 0.
> aber wie mir das jetzt weiterhilft hab ich noch nicht
> verstanden.
Nun, es ist doch [mm] $F^{(M_n, m_n)}(x, [/mm] y) = [mm] P(M_n \le [/mm] x, [mm] m_n \le [/mm] y) = [mm] P(M_n \le [/mm] x) - [mm] P(M_n \le [/mm] x, [mm] m_n [/mm] > y)$. Jetzt rechne noch [mm] $P(M_n \le [/mm] x)$ aus, dann kannst du die gemeinsame Verteilungsfunktion [mm] $F^{(M_n, m_n)}(x, [/mm] y)$ hinschreiben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Sa 21.11.2009 | | Autor: | nikinho |
Also, bin gestern nicht mehr dazu gekommen das hier zu posten, aber bin gestern mit meiner Lerngruppe auf eine Lösung gekommen und die passt auch zu felix letzter Antwort:
F(x,y)=P (Mn [mm] \le [/mm] x , mn [mm] \le [/mm] < y)
= P({Mn [mm] \le [/mm] x} [mm] \cap [/mm] {mn [mm] \le [/mm] y}
= P (Mn [mm] \le [/mm] x) * (1- P(mn > y | Mn [mm] \le [/mm] x))
= P(Mn [mm] \le [/mm] x) * (1 - P(Mn [mm] \le [/mm] x , mn > y) / P(Mn [mm] \le [/mm] x))
= P(mn [mm] \le [/mm] x) - P(Mn [mm] \le [/mm] x, mn > y)
jetzt den Tipp von oben benutzen, bzw den Hinweis aus der Aufgabe.
= F(x) - [mm] (F(x)-F(y))^n
[/mm]
Stimmt das so?
zur b)
Da haben wir den Hinweis bekommen a:= [mm] F^{-1}(1) [/mm] = inf {F(x) [mm] \ge [/mm] 1} zu setzen und dann zu zeigen dass [mm] \forall \delta [/mm] >0 : [mm] F(a-\delta)=0 [/mm] .
Aber wie zeige ich das denn? Da sind wir nichtmal bis zu nem Ansatz gekommen leider.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also, bin gestern nicht mehr dazu gekommen das hier zu
> posten, aber bin gestern mit meiner Lerngruppe auf eine
> Lösung gekommen und die passt auch zu felix letzter
> Antwort:
>
> F(x,y)=P (Mn [mm]\le[/mm] x , mn [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< y)
> = P({Mn [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x} [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{mn [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y}
> = P (Mn [mm]\le[/mm] x) * (1- P(mn > y | Mn [mm]\le[/mm] x))
> = P(Mn [mm]\le[/mm] x) * (1 - P(Mn [mm]\le[/mm] x , mn > y) / P(Mn [mm]\le[/mm] x))
> = P(mn [mm]\le[/mm] x) - P(Mn [mm]\le[/mm] x, mn > y)
Wieso ist aus dem Mn vorne ploetzlich ein mn geworden?!
> jetzt den Tipp von oben benutzen, bzw den Hinweis aus der
> Aufgabe.
>
> = F(x) - [mm](F(x)-F(y))^n[/mm]
Nein, es sollte vorne [mm] $F(x)^n$ [/mm] stehen: es ist ja [mm] $P(M_n \le [/mm] x) = [mm] P(X_1 \le [/mm] x, [mm] \dots, X_n \le [/mm] x) = [mm] P(X_1 \le [/mm] x) [mm] \cdots P(X_n \le [/mm] x) = [mm] F(x)^n$.
[/mm]
> zur b)
>
> Da haben wir den Hinweis bekommen a:= [mm]F^{-1}(1)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= inf {F(x)
> [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} zu setzen und dann zu zeigen dass [mm]\forall \delta[/mm] >0
> : [mm]F(a-\delta)=0[/mm] .
Ja, das zeigt gerade die Behauptung.
> Aber wie zeige ich das denn? Da sind wir nichtmal bis zu
> nem Ansatz gekommen leider.
Bestimme erstmal die Verteilungsfunktion von [mm] $M_n$ [/mm] und [mm] $m_n$. [/mm] Wenn [mm] $M_n$ [/mm] und [mm] $m_n$ [/mm] unabhaengig sind, muss ja [mm] $F^{(M_n, m_n)}(x, [/mm] y) = [mm] F^{M_n}(x) F^{m_N}(y)$ [/mm] gelten. Mit dieser Gleichung und den berechneten Darstellungen von [mm] $F^{(M_n, m_n)}(x, [/mm] y)$, [mm] $F^{M_n}(x)$ [/mm] und [mm] $F^{m_N}(y)$ [/mm] musst du dann arbeiten.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Sa 21.11.2009 | | Autor: | nikinho |
okay das Mn zu mn war ein Tippfehler.
Und das mit [mm] F(x)^n [/mm] versteh ich auch.
Setze mich dann gleich/morgen mal an die b) mit deinem Hinweis. Danke
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