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| Aufgabe | | Angenommen [mm] $X_1$ [/mm] konvergiert in Verteilung gegen [mm] $Z_1$, $X_2-X_1$ [/mm] in Verteilung gegen [mm] $Z_2$ [/mm] und [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2-X_1$ [/mm] sind unabhängig (zB Inkremente). Dann konvergiert ja [mm] $(X_1,X_2-X_1)$ [/mm] gegen [mm] $(Z_1,Z_2)$. [/mm] |
Wie folgt daraus, dass [mm] $(X_1,X_2)$ [/mm] gegen [mm] $(Z_1,Z_1+Z_2)$ [/mm] konvergiert? [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] sind ja iA dann nicht unabhängig.
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Hiho,
die Frage macht keinen Sinn. [mm] X_1 [/mm] ist eine feste Zufallsvariable und keine Folge, da konvergiert nix.
Meinst du statt [mm] X_1 [/mm] vielleicht [mm] X_n?
[/mm]
edit: Das nehme ich jetzt mal an.
Dann hilft dir folgender Satz: Konvergiert [mm] X_n [/mm] in Verteilung gegen X und sei [mm] \varphi [/mm] eine stetige Funktion, so konvergiert [mm] \varphi(X_n) [/mm] in Verteilung gegen [mm] $\varphi(X)$.
[/mm]
Setze dann [mm] $\varphi((X,Y)) [/mm] = (X, X + Y)$
Gruß,
Gono
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Ups, da hab ich mich verschrieben. Du hast es aber richtig interpretiert, danke. Ich wollte jetzt nochmal sicherheitshalber nachfragen, damit ich das wirklich richtig verstehe. Ich bezeichne mit [mm] $\Rightarrow$ [/mm] die Konvergenz in Verteilung.
1. Wenn [mm] $X_n\Rightarrow [/mm] X$ und [mm] $Y_n\Rightarrow [/mm] Y$ UND [mm] $X_n,Y_n$ [/mm] unabhängig folgt [mm] $(X_n,Y_n)\Rightarrow [/mm] (X,Y)$. Stimmt das? Wenn ich die Unabhängigkeit weglasse, stimmt es allerdings nicht mehr.
2. Angenommen [mm] $X_n,Y_n$ [/mm] sind jetzt nicht unabhängig, aber [mm] $X_n$ [/mm] und [mm] $Y_n-X_n$ [/mm] sind unabhängig, wobei wieder [mm] $X_n\Rightarrow [/mm] X$ und [mm] $Y_n-X_n\Rightarrow [/mm] Z $ gelten soll. Dann gilt ja wieder [mm] $(X_n,Y_n-X_n)\Rightarrow [/mm] (X,Z)$ und mit Hilfe deines Satzes für ein stetiges [mm] $\varphi$ [/mm] folgt dann [mm] $(X_n,Y_n)\Rightarrow [/mm] (X,X+Z)$. Stimmt das so?
Vielen Dank!
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Hiho,
> 1. Wenn [mm]X_n\Rightarrow X[/mm] und [mm]Y_n\Rightarrow Y[/mm] UND [mm]X_n,Y_n[/mm] unabhängig folgt [mm](X_n,Y_n)\Rightarrow (X,Y)[/mm]. Stimmt das?
Zeige es doch einfach! Mit der Unabhängigkeit und der Definition der gemeinsamen Verteilung ist das ziemlich trivial.
> Wenn ich die Unabhängigkeit weglasse, stimmt es allerdings nicht mehr.
Zumindest hast du es dann dafür nicht gezeigt.
> 2. Angenommen [mm]X_n,Y_n[/mm] sind jetzt nicht unabhängig, aber
> [mm]X_n[/mm] und [mm]Y_n-X_n[/mm] sind unabhängig, wobei wieder
> [mm]X_n\Rightarrow X[/mm] und [mm]Y_n-X_n\Rightarrow Z[/mm] gelten soll. Dann
> gilt ja wieder [mm](X_n,Y_n-X_n)\Rightarrow (X,Z)[/mm] und mit Hilfe
> deines Satzes für ein stetiges [mm]\varphi[/mm] folgt dann
> [mm](X_n,Y_n)\Rightarrow (X,X+Z)[/mm]. Stimmt das so?
Ja.
Gruß,
Gono
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