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| Aufgabe | Seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten f bzw. g. Berechnen
Sie die Dichte des Zufallsvektors (X,X - Y ). |
Hallo Matheraum,
die Dichte eines Zufallsvektors X = [mm] (X_1 [/mm] , [mm] X_2 [/mm] , ... , [mm] X_n) [/mm] lautet doch:
$ [mm] P_{X}(A) [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1_{A}(x_1 , ... , x_n)*f(x_1, ... , x_n) dx} [/mm] $
Nun ist hier die 2. Komponente meines ZVektors aber X-Y. Wie berechnet man das?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Do 19.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Nun ist hier die 2. Komponente meines ZVektors aber X-Y.
> Wie berechnet man das?
>
Sagt dir der Transformationssatz fuer Dichten etwas?
vg Luis
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> Moin
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> > Nun ist hier die 2. Komponente meines ZVektors aber X-Y.
> > Wie berechnet man das?
> >
>
> Sagt dir der Transformationssatz fuer Dichten etwas?
>
> vg Luis
Ja, der sagt mir in der Tat etwas:
Sei [mm] f_{X} [/mm] bekannt. Dann lautet die Dichte der Varibalen Y := g(X) so
$ [mm] f_{Y} [/mm] = [mm] f_{X}(g^{-1}(y) \cdot |detDg^{-1}(y)| [/mm] $
Wenn das nun stimmt, dann wäre doch die Dichte von Z:=X-Y die Folgende:
$ [mm] f_{Z}(z) [/mm] = [mm] f_{X}(g^{-1}(z)) \cdot |(g^{-1}(z))'| [/mm] $
(Gehe ich richtig in der Annahme, dass die Determinante der Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle z in meinem Fall einfach nur [mm] (g^{-1}(z))' [/mm] ist? )
Und wie bekomme ich nun die Dichte der beiden ZV X und Z?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Do 19.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
betrachte die Transformation $h(x,y)=(x,x-y)$ und wende die Aussage an auf Folie 133 ![[]](/images/popup.gif) hier. Damit erhaeltst du die gemeinsame Dichte [mm] $f_{u,v}$ [/mm] von $(U,V)=(X,X-Y)$. Die Dichte von $V=X-Y_$ erhaeltst du nach der alten Bauernregel
[mm] $f_v(v)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{u,v}(u,v)\,du$.
[/mm]
vg Luis
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