Gedächtnislosigkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mo 07.07.2014 | | Autor: | James90 |
Hi!
Ich will die Gedächnislosigkeit der Exponentialverteilung beweisen.
Sei also [mm] X\sim\exp(\lambda) [/mm] verteilt mit Parameter [mm] \lambda>0, [/mm] dann gilt für alle [mm] n,k\in\IN_0:
[/mm]
$P(X>k)=P(X>n+k|X>n)$.
Wir wollen benutzen [mm] P(X\le k)=\lambda*e^{-\lambda*k}, [/mm] d.h. wir benutzen die Gegenwahrscheinlichkeit.
[mm] P(X>n+k|X>n)=\frac{P(X>n+k,X>n)}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}=\frac{1-P(X\le n+k))}{1-P(X\le n)}=\frac{1-\lambda*e^{-\lambda*(n+k)}}{1-\lambda*e^{-\lambda*k}}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Auf der anderen Seite: [mm] $P(X>k)=1-P(X\le k)=1-\lambda*e^{-\lambda*k} [/mm] und ich habe keine Idee. Ich habe es mit Äquivalenzumformung probiert, aber ohne Erfolg.
Vielen Dank für jede Hilfe!
Viele Grüße, James.
|
|
| |
|
Hallo,
> Hi!
>
> Ich will die Gedächnislosigkeit der Exponentialverteilung
> beweisen.
> Sei also [mm]X\sim\exp(\lambda)[/mm] verteilt mit Parameter
> [mm]\lambda>0,[/mm] dann gilt für alle [mm]n,k\in\IN_0:[/mm]
>
> [mm]P(X>k)=P(X>n+k|X>n)[/mm].
>
> Wir wollen benutzen [mm]P(X\le k)=\lambda*e^{-\lambda*k},[/mm] d.h.
Wieso? Du vermischt hier Dichte und Verteilungsfunktion ...
[mm]P(X\le k)=F_{\lambda}(k)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda k}, & \textrm{für } k\ge 0 \\ 0, & \textrm{für } k<0 \end{cases}[/mm]
> wir benutzen die Gegenwahrscheinlichkeit.
>
> [mm]P(X>n+k|X>n)=\frac{P(X>n+k,X>n)}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}=\frac{1-P(X\le n+k))}{1-P(X\le n)}=\frac{1-\lambda*e^{-\lambda*(n+k)}}{1-\lambda*e^{-\lambda*k}}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Nein, der letzte Schritt stimmt nicht ...
Es ist [mm]P(X>n+k)=1-P(X\le n+k)=1-F_{\lambda}(n+k)[/mm] ...
>
> Auf der anderen Seite: [mm]P(X>k)=1-P(X\le k)=1-\lambda*e^{-\lambda*k}[/mm]
> und ich habe keine Idee. Ich habe es mit
> Äquivalenzumformung probiert, aber ohne Erfolg.
>
> Vielen Dank für jede Hilfe!
>
> Viele Grüße, James.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mo 07.07.2014 | | Autor: | James90 |
Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Wieso? Du vermischt hier Dichte und Verteilungsfunktion
> ...
Sorry......
> [mm]P(X\le k)=F_{\lambda}(k)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda k}, & \textrm{für } k\ge 0 \\ 0, & \textrm{für } k<0 \end{cases}[/mm]
>
> > wir benutzen die Gegenwahrscheinlichkeit.
> >
> >
> [mm]P(X>n+k|X>n)=\frac{P(X>n+k,X>n)}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}=\frac{1-P(X\le n+k))}{1-P(X\le n)}=\frac{1-\lambda*e^{-\lambda*(n+k)}}{1-\lambda*e^{-\lambda*k}}[/mm]
>
> >
> > Ist das soweit richtig?
>
> Nein, der letzte Schritt stimmt nicht ...
>
> Es ist [mm]P(X>n+k)=1-P(X\le n+k)=1-F_{\lambda}(n+k)[/mm] ...
Neuer Versuch:
[mm] P(X>n+k|X>n)=\frac{P(X>n+k,X>n)}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}=\frac{1-P(X\le n+k)}{1-P(X\le n)}=\frac{1-(1-e^{-\lambda*(n+k)})}{1-(1-e^{-\lambda*k})}=\frac{e^{-\lambda*(n+k)}}{e^{-\lambda*k}}=e^{-\lambda*n}
[/mm]
So richtig? Irgendetwas muss doch nicht falsch sein, denn [mm] P(X>k)=1-P(X\le k)=1-e^{-\lambda*k}\not=e^{-\lambda*n}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> > Wieso? Du vermischt hier Dichte und Verteilungsfunktion
> > ...
>
> Sorry......
>
> > [mm]P(X\le k)=F_{\lambda}(k)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda k}, & \textrm{für } k\ge 0 \\ 0, & \textrm{für } k<0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > > wir benutzen die Gegenwahrscheinlichkeit.
> > >
> > >
> >
> [mm]P(X>n+k|X>n)=\frac{P(X>n+k,X>n)}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}=\frac{1-P(X\le n+k))}{1-P(X\le n)}=\frac{1-\lambda*e^{-\lambda*(n+k)}}{1-\lambda*e^{-\lambda*k}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ist das soweit richtig?
> >
> > Nein, der letzte Schritt stimmt nicht ...
> >
> > Es ist [mm]P(X>n+k)=1-P(X\le n+k)=1-F_{\lambda}(n+k)[/mm] ...
>
> Neuer Versuch:
>
> [mm]P(X>n+k|X>n)=\frac{P(X>n+k,X>n)}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}=\frac{1-P(X\le n+k)}{1-P(X\le n)}=\frac{1-(1-e^{-\lambda*(n+k)})}{1-(1-\red{e^{-\lambda*k}})}=\frac{e^{-\lambda*(n+k)}}{e^{-\lambda*k}}=e^{-\lambda*n}[/mm]
>
> So richtig?
Ich habs mal rot markiert. Bei dir ist im Nenner aus dem n ein k geworden ...
> Irgendetwas muss doch nicht falsch sein,
Hehe, "muss doch nicht" ist gut 
> denn
> [mm]P(X>k)=1-P(X\le k)=1-e^{-\lambda*k}\not=e^{-\lambda*n}.[/mm]
Es bleibt am Ende [mm]e^{-\lambda k}[/mm], was gleich [mm]1-(1-e^{-\lambda k})=1-P(X\le k)=P(X>k)[/mm] ist - alles, wie es sein soll ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Mo 07.07.2014 | | Autor: | James90 |
Vielen lieben Dank! 
|
|
|
|
