Gebrochenrationale Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Sa 03.02.2007 | | Autor: | drummy |
| Aufgabe | Gegeben ist für jedes t>0 die Funktion [mm] f_{t} [/mm] mit Graph [mm] K_{t} [/mm] durch [mm] f_{t}(x)=\bruch{8x^3}{12x^2-9t^2}; [/mm] x [mm] \in D_{t}.
[/mm]
a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge [mm] D_{t} [/mm] von [mm] f_{t} [/mm] an. Untersuchen Sie [mm] K_{t} [/mm] auf Symmetrie, Asymptoten, gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie [mm] K_{2} [/mm] einschließlich seiner Asymptoten für |x| [mm] \le [/mm] 6. Zeigen Sie, dass die Extrempunkte aller [mm] K_{t} [/mm] auf einer Geraden liegen und geben Sie eine Gleichung dieser Geraden an.
b) Der Punkt P(u v) mit [mm] u>\wurzel{3} [/mm] liegt auf [mm] K_{2}. [/mm] Die Koordinatenachsen sowie ihre Parallelen durch P begrenzen ein Rechteck mit dem Inhalt R (u). Bestimmen Sie u so, dass R(u) minimal wird. |
Hallo,
bei der Aufgabe a) habe ich bis auf die letzte Teilaufgabe alles ausgerechnet.
Meine Ergebnisse:
- D [mm] (f_{t}) [/mm] = [mm] \IR \setminus {\bruch{t}{2}\wurzel{3}}
[/mm]
- punktsymmetrisch zum Ursprung
-Asymptoten: x= [mm] \pm \bruch{t}{2}\wurzel{3} [/mm] ; y= [mm] \bruch{2}{3}x
[/mm]
-Nullstellen: TP [mm] (\bruch{3}{2}t|\bruch{3}{2}t [/mm] )
HP [mm] (\bruch{-3}{2}t|\bruch{-3}{2}t [/mm] )
-Wendepunkte: WP(0|0)
- Die Zeichnung habe ich auch gemacht.
Ich weiß jetzt allerdings nicht, wie ich zeigen soll, dass die Extrempunkte auf einer Geraden liegen und wie ich auf die Gleichung kommen soll. Es wäre nett, wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte.
Bei der b) kriege ich auch keine richtigen ansatz hin. Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank im voraus.
Grüße drummy
|
|
| |
|
> Gegeben ist für jedes t>0 die Funktion [mm]f_{t}[/mm] mit Graph
> [mm]K_{t}[/mm] durch [mm]f_{t}(x)=\bruch{8x^3}{12x^2-9t^2};[/mm] x [mm]\in D_{t}.[/mm]
>
> a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge [mm]D_{t}[/mm] von [mm]f_{t}[/mm]
> an. Untersuchen Sie [mm]K_{t}[/mm] auf Symmetrie, Asymptoten,
> gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte.
> Zeichnen Sie [mm]K_{2}[/mm] einschließlich seiner Asymptoten für |x|
> [mm]\le[/mm] 6. Zeigen Sie, dass die Extrempunkte aller [mm]K_{t}[/mm] auf
> einer Geraden liegen und geben Sie eine Gleichung dieser
> Geraden an.
>
> b) Der Punkt P(u v) mit [mm]u>\wurzel{3}[/mm] liegt auf [mm]K_{2}.[/mm] Die
> Koordinatenachsen sowie ihre Parallelen durch P begrenzen
> ein Rechteck mit dem Inhalt R (u). Bestimmen Sie u so, dass
> R(u) minimal wird.
> Hallo,
[mm] $\bffamily \text{Hi.}$
[/mm]
>
> bei der Aufgabe a) habe ich bis auf die letzte Teilaufgabe
> alles ausgerechnet.
> Meine Ergebnisse:
> - D [mm](f_{t})[/mm] = [mm]\IR \setminus {\bruch{t}{2}\wurzel{3}}[/mm]
> -
[mm] $\bffamily \text{Stimmt.}$
[/mm]
> punktsymmetrisch zum Ursprung
[mm] $\bffamily \text{Stimmt, doch ich würde das noch mit der Regel für Punktsymmetrie }\left(-f\left(x\right)=f\left(-x\right)\right)\text{ zeigen.}$
[/mm]
> -Asymptoten: x= [mm]\pm \bruch{t}{2}\wurzel{3}[/mm] ; y=
> [mm]\bruch{2}{3}x[/mm]
[mm] $\bffamily \text{Korrekt. Aber dass }x_{1;2}=\pm\bruch{t}{2}\text{ senkrechte Asymptoten sind, kannst du erst sehen, wenn du die Nullstellen des Zählers bestimmt hast.}$
[/mm]
> -Nullstellen: TP [mm](\bruch{3}{2}t|\bruch{3}{2}t[/mm] )
> HP [mm](\bruch{-3}{2}t|\bruch{-3}{2}t[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
)
> -Wendepunkte: WP(0|0)
> - Die Zeichnung habe ich auch gemacht.
>
> Ich weiß jetzt allerdings nicht, wie ich zeigen soll, dass
> die Extrempunkte auf einer Geraden liegen und wie ich auf
> die Gleichung kommen soll. Es wäre nett, wenn mir jemand
> einen Ansatz geben könnte.
$\bffamily \text{Du sollst hier die Ortskurve der Extrempunkte bestimmen. Da die Funtion punktsymmetrisch ist, kannst du dir entweder den Hoch- oder den Tiefpunkt in Abhängigkeit von }t\text{ schnappen.}$
$\bffamily \mathrm{T}\left(\underbrace{\bruch{3}{2}t}_{=x}\left|\underbrace{\bruch{3}{2}t}_{=y}\right)\right.$
$\bffamily \text{Jetzt die }x\text{-Koordinate gleich }x\text{ setzen und nach }t\text{ auflösen und in die }y\text{-Koordinate einsetzen und vereinfachen.}$
>
> Bei der b) kriege ich auch keine richtigen ansatz hin. Es
> wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
>
$\bffamily \text{Bestimme den Flächeninhalt dieses Rechtecks in Abhängigkeit von }u\text{. Beachte hierbei, dass }f_{2}\left(u\right)=\bruch{8u^3}{12u^2-36}\text{ gilt.}$
> Vielen Dank im voraus.
>
> Grüße drummy
$\bffamily \text{Gruß, Stefan.}$
|
|
|
|
