Gebrochen Rationale Funktionen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
wie gehe ich am besten bei der Untersuchung von gebrochen Rationalen Funktionen vor?
Wenn ich z.B: die Funktion [mm] f(X)=\bruch{x³-7x+6}{3x²+12x+9}
[/mm]
1. Defintionsbereich bestimmen
3x²+12x+9=0
Nach PQ-Formel somit x1=3; x2=1
2. Definitionsbereich bestimmen.
x³-7x+6=0
Nach Polynomendivision
x²+x-6=0
somit x1= 2 und x2=-3.
Soweit ist mir alles klar.
Als nächsten würde ich die Funktion mit Hilfe der Nullstellen umstellen.
[mm] f(x)=\bruch{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-1)}
[/mm]
kürzen:
Ich hoffe bis hierher habe ich korrekt gerechnet.
Nun müsste ich die Stellen 3 sowie 1 mit Limes überprüfen.
Woher kenne ich denn die Asymtote bzw. wann muss ich diese bestimmen??
Vielen Dank im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
> Hallo,
Hallo Tobi15,
>
> wie gehe ich am besten bei der Untersuchung von gebrochen
> Rationalen Funktionen vor?
>
> Wenn ich z.B: die Funktion [mm]f(X)=\bruch{x³-7x+6}{3x²+12x+9}[/mm]
>
> 1. Defintionsbereich bestimmen
>
> 3x²+12x+9=0
>
> Nach PQ-Formel somit x1=3; x2=1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
So wie ich dass sehe gilt
[mm] $3x^2+12x+9=0 \gdw x^2+4x+3=0 \gdw [/mm] (x+3)(x+1)=0 [mm] \gdw x=\red{-3} \vee x=\red{-1}$
[/mm]
> 2. Definitionsbereich bestimmen.
Etwas redundant, du meinst sicherlich die Nullstellen...
> x³-7x+6=0
>
> Nach Polynomendivision
> x²+x-6=0
>
> somit x1= 2 und x2=-3.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber trotzdem solltest du auch $x=1$ (die geratene Nullstelle für die Polynomdivision angeben).
> Als nächsten würde ich die Funktion mit Hilfe der
> Nullstellen umstellen.
>
> [mm]f(x)=\bruch{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-1)}[/mm]
> kürzen:
Wenn du ein Polynom in Linearfaktoren aufspaltest haben diese die Form [mm] $(x-x_1)$, [/mm] wobei [mm] $x_1$ [/mm] Nullstelle des Polynoms ist, d.h. für [mm] $x_1=-3$ [/mm] lautet der Linearfaktor $(x-(-3))=(x+3)$.
Aber das kürzen ist wichtig, denn
[mm] $f(x)=\frac{(x+3)(x-2)(x-1)}{3(x+3)(x+1)}=\frac{(x-2)(x-1)}{3(x+1)}$ [/mm] für alle [mm] $x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1; -3\}$. [/mm] Mit Hilfe des zweite Term kann man dem unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] von $f(-3)$ einen sinnvollen Wert zuordnen, man spricht von der stetigen Fortsetzung der Funktion $f$ in $x=-3$. Dabei setzt man [mm] $f(-3)=\frac{(-3-2)(-3-1)}{3(-3+1)}=-\frac{10}{3}$ [/mm] zu.
Für die andere Definitionslücke $x=-1$ kann man sagen, verhält sich $f$ in einer Umgebung um $x=-1$ wie die Funktion [mm] $\frac{(-1-2)(-1-3)}{3 (x+1)}=\frac{2}{x+1}$ [/mm] und hat damit dort einen Pol mit Vorzeichenwechsel. Damit hat $f$ dort auch eine senkrechte Asymptote.
Wenn ihr auch auf  schräge Asymptoten untersuchen müsst, solltest du noch eine Polynomdivision machen.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Danke für die schnelle Antwort
>
> So wie ich dass sehe gilt
> [mm]3x^2+12x+9=0 \gdw x^2+4x+3=0 \gdw (x+3)(x+1)=0 \gdw x=\red{-3} \vee x=\red{-1}[/mm]
>
> wie denn x1=-3 und x2=-1.
Mit der PQ-Formal gibt doch ein anderes Ergbniss.
Oder kann ich nicht immer die PQ-Formel anwenden.
Gruß
Tobi15
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mi 13.04.2005 | | Autor: | mathrix |
Hi Tobi,
die pq-Formel kann man in solchen Fällen nach meinem Wissen immer anwenden. Deswegen musst du wohl einen Fehler gemacht haben. Wenn du uns deinen Rechenweg postest, können wir dir helfen den Fehler zu finden. Ich denke, dass du vielleicht ein bisschen zu sehr auf Formeln aus bist. Versuche lieber das ganze mehr zu verstehen! (Gerade die Sache mit den Nullstellen, die du bei der Linearfaktorzerlegung mit dem falschen Vorzeichen versehen hast, deuten darauf hin, dass du es noch nicht so recht verstanden hast)
Gruß,
mathrix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Super soweit haben ich das verstanden :).
Wenn ich jetzt den Limes auf die Stellen, die nicht definiert sind anwede:
l-lim [mm] \bruch [/mm] {(x-2)(x-1)}{3(x+1)} = 10/3
x=>-3
r-lim [mm] \bruch [/mm] {(x-2)(x-1)}{3(x+1)} = 10/3
x=>-3
l-lim [mm] \bruch [/mm] {(x-2)(x-1)}{3(x+1)} = - [mm] \infty
[/mm]
x=>-1
r-lim [mm] \bruch [/mm] {(x-2)(x-1)}{3(x+1)} = + [mm] \infty
[/mm]
x=>-1
l-lim
x=> + [mm] \infty =+\infty
[/mm]
l-lim
x=> - [mm] \infty =-\infty
[/mm]
Um den Limes zu bestimmen, muss ich doch einfach Beispielzahlen für x einsetzten die (l-lim -3) größer als -3 sind -3,1 z.B:
oder. Wenn ich den Limes gegen unentlich streben lasse, habe ich für x immer Zahlen wie z.B 100 und dann 1000 eingesetzt um
zu sehen, wie die Tendenz ist.
Mir geht es nämlich darum, dass ich die Sache mit dem Limes in einer Klausur auch überprüfen kann.
Wenn ich den Limes dann bestimmt bzw. untersucht habe muss ich ja die Asytote bestimmen?
Da n>m ist handel es sich um eine gebrochen Rationale Funktion, die als ganz Rationale Funktion mit einem Restwert dargestellt
werden kann. Nur wie komme ich jetzt zur Asymtotengleichung wieder über Polynomendivision.
Gruß
Tobi15
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
> Super soweit haben ich das verstanden :).
>
> Wenn ich jetzt den Limes auf die Stellen, die nicht
> definiert sind anwede:
>
> l-lim [mm]\bruch[/mm] {(x-2)(x-1)}{3(x+1)} = 10/3
> x=>-3
>
> r-lim [mm]\bruch[/mm] {(x-2)(x-1)}{3(x+1)} = 10/3
> x=>-3
>
>
> l-lim [mm]\bruch[/mm] {(x-2)(x-1)}{3(x+1)} = - [mm]\infty[/mm]
> x=>-1
>
> r-lim [mm]\bruch[/mm] {(x-2)(x-1)}{3(x+1)} = + [mm]\infty[/mm]
> x=>-1
>
> l-lim
> x=> + [mm]\infty =+\infty[/mm]
>
> l-lim
> x=> - [mm]\infty =-\infty[/mm]
>
>
>
> Um den Limes zu bestimmen, muss ich doch einfach
> Beispielzahlen für x einsetzten die (l-lim -3) größer als
> -3 sind -3,1 z.B:
> oder. Wenn ich den Limes gegen unentlich streben lasse,
> habe ich für x immer Zahlen wie z.B 100 und dann 1000
> eingesetzt um
> zu sehen, wie die Tendenz ist.
Für die Schule ist dieses Vorgehen okay, wobei es oft leichter ist, esrt die gebrochene-rationale Funktion durch die höchste Potzen zu dividieren und mit Nullfolgen zu argumentieren. Siehe dazu noch mal in den Link zu Asymptoten.
> Mir geht es nämlich darum, dass ich die Sache mit dem Limes
> in einer Klausur auch überprüfen kann.
>
> Wenn ich den Limes dann bestimmt bzw. untersucht habe muss
> ich ja die Asytote bestimmen?
> Da n>m ist handel es sich um eine gebrochen Rationale
> Funktion, die als ganz Rationale Funktion mit einem
> Restwert dargestellt
> werden kann. Nur wie komme ich jetzt zur
> Asymtotengleichung wieder über Polynomendivision.
Du musst einfach das Zählerpolynom durch dasNennerpolynom dividieren, wobei hier ein Rest auftauchen wird. Dieser Rest hat aber die Eigenschaft, dass er beliebig klein wird, je größer $|x|$ wird. Der ganzrationale Teil ist die schräge Asymptote.
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Tobi15 |
> > Um den Limes zu bestimmen, muss ich doch einfach
> > Beispielzahlen für x einsetzten die (l-lim -3) größer als
> > -3 sind -3,1 z.B:
> > oder. Wenn ich den Limes gegen unentlich streben lasse,
> > habe ich für x immer Zahlen wie z.B 100 und dann 1000
> > eingesetzt um
> > zu sehen, wie die Tendenz ist.
>
> Für die Schule ist dieses Vorgehen okay, wobei es oft
> leichter ist, esrt die gebrochene-rationale Funktion durch
> die höchste Potzen zu dividieren und mit Nullfolgen zu
> argumentieren. Siehe dazu noch mal in den Link zu
> Asymptoten.
>
Verstehe nicht ganz wie Sie das meinen (welchen Link!)
könnten Sie mir vielleicht ein Beispiel geben.
>
> > Mir geht es nämlich darum, dass ich die Sache mit dem Limes
> > in einer Klausur auch überprüfen kann.
> >
> > Wenn ich den Limes dann bestimmt bzw. untersucht habe muss
> > ich ja die Asytote bestimmen?
> > Da n>m ist handel es sich um eine gebrochen Rationale
> > Funktion, die als ganz Rationale Funktion mit einem
> > Restwert dargestellt
> > werden kann. Nur wie komme ich jetzt zur
> > Asymtotengleichung wieder über Polynomendivision.
>
> Du musst einfach das Zählerpolynom durch dasNennerpolynom
> dividieren, wobei hier ein Rest auftauchen wird. Dieser
> Rest hat aber die Eigenschaft, dass er beliebig klein wird,
> je größer [mm]|x|[/mm] wird. Der ganzrationale Teil ist die schräge
> Asymptote.
Den Rest kann ich also in solchen Fällen immer vernachlässigen.
Ich habe noch eine Frage zum Zeichnen des Graphen. Habe mir den Graphen mit Hilfe eines Funktionsplotters
anzeigen lassen.
1. wieso kommt der aus - [mm] \infty [/mm] wenn man links von der -3 betrachtet.
Rechts von der -3 versteh ich ja, dass er nach - [mm] \infty [/mm] strebt da l-lim x=>-1 == - [mm] \infty
[/mm]
2. Wieso kommt der Graph rechts von -1 aus + [mm] \infty [/mm] er könnte doch auch von der X-achse nach f(0)=2/3 streben.
Gruß
Tobi15
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
> > > Um den Limes zu bestimmen, muss ich doch einfach
> > > Beispielzahlen für x einsetzten die (l-lim -3) größer als
> > > -3 sind -3,1 z.B:
> > > oder. Wenn ich den Limes gegen unentlich streben
> lasse,
> > > habe ich für x immer Zahlen wie z.B 100 und dann 1000
> > > eingesetzt um
> > > zu sehen, wie die Tendenz ist.
> >
> > Für die Schule ist dieses Vorgehen okay, wobei es oft
> > leichter ist, esrt die gebrochene-rationale Funktion durch
> > die höchste Potzen zu dividieren und mit Nullfolgen zu
> > argumentieren. Siehe dazu noch mal in den Link zu
> > Asymptoten.
> >
>
> Verstehe nicht ganz wie Sie das meinen (welchen Link!)
> könnten Sie mir vielleicht ein Beispiel geben.
Asymptote
>
>
> >
> > > Mir geht es nämlich darum, dass ich die Sache mit dem Limes
> > > in einer Klausur auch überprüfen kann.
> > >
> > > Wenn ich den Limes dann bestimmt bzw. untersucht habe muss
> > > ich ja die Asytote bestimmen?
> > > Da n>m ist handel es sich um eine gebrochen
> Rationale
> > > Funktion, die als ganz Rationale Funktion mit einem
> > > Restwert dargestellt
> > > werden kann. Nur wie komme ich jetzt zur
> > > Asymtotengleichung wieder über Polynomendivision.
> >
> > Du musst einfach das Zählerpolynom durch dasNennerpolynom
> > dividieren, wobei hier ein Rest auftauchen wird. Dieser
> > Rest hat aber die Eigenschaft, dass er beliebig klein wird,
> > je größer [mm]|x|[/mm] wird. Der ganzrationale Teil ist die schräge
> > Asymptote.
>
> Den Rest kann ich also in solchen Fällen immer
> vernachlässigen.
>
> Ich habe noch eine Frage zum Zeichnen des Graphen. Habe mir
> den Graphen mit Hilfe eines Funktionsplotters
> anzeigen lassen.
>
> 1. wieso kommt der aus - [mm]\infty[/mm] wenn man links von der -3
> betrachtet.
> Rechts von der -3 versteh ich ja, dass er nach - [mm]\infty[/mm]
> strebt da l-lim x=>-1 == - [mm]\infty[/mm]
Nun ja, du hast doch [mm] $\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$. [/mm] Wenn du die schräge Asymptote durch Polynomdivision bestimmst, kannst du dir noch besser vorstellen, wie $f$ sich für [mm] $x\to-\infty$ [/mm] verhält.
Und bleib beim >du<.
> 2. Wieso kommt der Graph rechts von -1 aus + [mm]\infty[/mm] er
> könnte doch auch von der X-achse nach f(0)=2/3 streben.
Ich hatte ja schon gesagt, dass sich $f$ in der Nähe von $x=-1$ verhält wie [mm] $\frac{2}{x+1}$. [/mm] Setzt man in diesem Term Werte $x>-1$, aber dicht bei $-1$, wird der Nenner positiv, aber sehr klein, deshalb wird der gesamte Bruch positiv aber sehr groß, der Grenzwert für [mm] $x\to-1$ [/mm] (von rechts) ist dann [mm] $\infty$ [/mm] und nicht etwa $0$.
Gruß Max
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Max,
> [mm]f(x)=\frac{(x+3)(x-2)(x-1)}{3(x+3)(x+1)}=\frac{(x-2)(x-1)}{3(x+1)}[/mm]
> für alle [mm]x\in \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{-1; -3\}[/mm].
> Mit Hilfe des zweite Term kann man dem unbestimmten
> Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm] von [mm]f(-3)[/mm] einen sinnvollen Wert
> zuordnen, man spricht von der stetigen Fortsetzung der
> Funktion [mm]f[/mm] in [mm]x=-3[/mm]. Dabei setzt man
> [mm]f(-3)=\frac{(-3-2)(-3-1)}{3(-3+1)}=-\frac{10}{3}[/mm] zu.
Die stetige Fortsetzung einer Funktion f sollte man auf keinen Fall wieder mit f bezeichnen, denn es handelt sich um eine NEUE Funktion: Sie hat schließlich eine andere Definitionsmenge!
Daher kann ich die Schreibweise
" f(-3) = [mm] -\bruch{10}{3} [/mm] "
auch nicht gutheißen: f(-3) EXISTIERT NICHT!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Max,
kennst Du die Werbung, wo das Mädchen zu ihrem Vater sagt:
"Papi, wenn ich groß bin, will ich auch mal Spießer werden!"
Siehst Du, Max: Mit Deiner Hilfe ist das Zwerglein groß geworden!
Aber Spaß beiseite:
Kann sein, das Du's so machst mit den Bezeichnungen. Aber hier im Forum geht's nicht. Ich muss mich oft genug ärgern, wenn die Kids "Funktion" mit "Funktionsterm" gleichsetzen und ihnen die Definitionsmenge völlig wurscht ist. Dabei ist bei manchen Funktionen der Funktionsterm das geringere Problem, die Definitionsmenge macht die eigentlichen Schwierigkeiten (Logarithmusfunktionen, Arcusfunktionen, etc.).
Daher: Keine Kompromisse!
Nix für ungut!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
> Hi, Max,
>
> kennst Du die Werbung, wo das Mädchen zu ihrem Vater sagt:
> "Papi, wenn ich groß bin, will ich auch mal Spießer
> werden!"
> Siehst Du, Max: Mit Deiner Hilfe ist das Zwerglein groß
> geworden!
Das war gut. *g*
> Aber Spaß beiseite:
> Kann sein, das Du's so machst mit den Bezeichnungen. Aber
> hier im Forum geht's nicht. Ich muss mich oft genug ärgern,
> wenn die Kids "Funktion" mit "Funktionsterm" gleichsetzen
> und ihnen die Definitionsmenge völlig wurscht ist. Dabei
> ist bei manchen Funktionen der Funktionsterm das geringere
> Problem, die Definitionsmenge macht die eigentlichen
> Schwierigkeiten (Logarithmusfunktionen, Arcusfunktionen,
> etc.).
> Daher: Keine Kompromisse!
>
> Nix für ungut!
Kein Problem. Wie handhabst die momentane Änderungsrate einer Funktion als stetige Fortsetzung des Differenzenquotienten an der Stelle?
Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Do 14.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Max,
da kommt halt letztendlich die unterschiedliche Definition der Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit zum Tragen.
Für die Stetigkeit genügt die Gleichheit der Grenzwerte nicht; hier muss auch der Funktionswert an der Stelle mit den Grenzwerten übereinstimmen. Bei der Differenzierbarkeit genügt die Gleichheit (und Endlichkeit) der Grenzwerte.
Aber das Problem "stetig" oder nur "stetig fortsetzbar" liegt doch genau "auf der anderen Seite", nämlich beim Integral, genauer: der Stammfunktion. Wenn man die nämlich nicht von vornherein auf Intervalle beschränkt (was in manchen Lehrbüchern und Formelsammlungen geschieht), sondern auf der jeweils maximalen Definitionsmenge (was ja auch möglich ist!), so gibt es für Funktionen mit Definitionslücken eine größere Anzahl von Stammfunktionen als für solche ohne.
Einfachstes Beispiel:
[mm] \integral{\bruch{1}{x}dx} [/mm] = [mm] \begin{cases}ln(x) + c_{1}, & \mbox{für} x > 0 \\ ln|x| + c_{2}, & \mbox{für} x < 0 \end{cases} [/mm]
Letztlich gilt "lax ausgedrückt":
Definitionslücken zerlegen eine Funktion in Teilstücke, die beim unbestimmten Integral getrennt behandelt werden müssen.
Nochmals:
Funktion und stetige Fortsetzung sind zwei unterschiedliche Funktionen!
Mehr (aber auch nicht weniger) wollt' ich sagen! C' est tout!
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