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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:27 Mo 09.05.2005 | | Autor: | salai |
Hi Guten Tag All Mathematiker,
g(x) = [mm] \bruch {x^2 - x} {x^2 - x - 6} [/mm]
Von diese afugabe folgende Lösung bekommen.
Leider komme ich nixht weiter mit dem Zweite Ableitung... und Dritte.
Sind meine Lösungen richtigt ?
a). Definationmenge ID = [mm] \IR \ \left\{ -2 ; 3\right\} [/mm]
b). Schnitte mit f(x) x= 0;
Sy( 0; 0)
c). Nullstelle X1 = 0 und X2 = 1
D). Pole Xp = -2 und Xp2 = 3
Asymptote Fa = 1 ?
f'(x) = (-12x + 6 ) \ [mm] (x^2 [/mm] - x - 6) ^2
//ich kann leider nicht mit LATEX benutzen.
Soll ich lieber, den Nenner so lassen ? oder soll ich Multiplizieren ?
Kann jemand mir mir erläutern, wie man den Nenner ohne zu Multiplizieren und den zweite Ableitung bilden kann?
Könnte auch ausführlicher sein: ?
ich danke Ihnen im voruas,
Gruß,
salai.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo salai!
> g(x) = [mm]\bruch {x^2 - x} {x^2 - x - 6}[/mm]
> Von diese afugabe folgende Lösung bekommen.
> Leider komme ich nixht weiter mit dem Zweite Ableitung...
> und Dritte.
> Sind meine Lösungen richtigt ?
Na, schauen wir mal ...
> a). Definationmenge ID = [mm]\IR \ \left\{ -2 ; 3\right\}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> b). Schnitte mit f(x) x= 0;
> Sy( 0; 0)
Sauberer aufschreiben: "Schnittpunkt mit der y-Achse"
> c). Nullstelle X1 = 0 und X2 = 1
> D). Pole Xp = -2 und Xp2 = 3
> Asymptote Fa = 1 ?
Warum zweifelst Du? Was hast Du denn gerechnet?
> f'(x) = (-12x + 6 ) \ [mm](x^2[/mm] - x - 6) ^2
> //ich kann leider nicht mit LATEX benutzen.
Na, na! Oben hat's ja auch geklappt!
Aber die Ableitung $f'(x)$ stimmt!
> Soll ich lieber, den Nenner so lassen ? oder soll ich
> Multiplizieren ?
Auf jeden Fall so lassen! Das Ausmultiplizieren ist nur eine zusätzliche Fehlerquelle und macht den Bruchausdruck noch unübersichtlicher!
> Kann jemand mir mir erläutern, wie man den Nenner ohne zu
> Multiplizieren und den zweite Ableitung bilden kann?
Wir haben hier ja eine etwas kompliziertere Funktion, die wir mit der  Quotientenregel ableiten müssen.
Da dürfen wir das ruhig mal auseinander nehmen und mal separat hinschreiben:
$u \ = \ -12x + 6 \ = \ -6*(2x-1)$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ -12$
$v \ = \ [mm] \left(x^2 - x - 6\right)^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ [mm] 2*\left(x^2 - x - 6\right)^1 [/mm] * (2x-1)$
Hier habe ich die Kettenregel angewandt.
Damit wird:
$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{u'*v - u*v'}{v^2}$
[/mm]
$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-12*\left(x^2 - x - 6\right)^2 - [-6*(2x-1)]*2*\left(x^2 - x - 6\right) * (2x-1)}{\left(x^2 - x - 6\right)^4}$
[/mm]
Zu allererst kürzen wir nun einmal den Ausdruck [mm] $(x^2-x-6)$. [/mm] Das hätten wir nicht gesehen, wenn wir weiter oben ausmultipliziert hätten!
Es verbleibt:
$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-12*\left(x^2 - x - 6\right)^1 - [-6*(2x-1)]*2*1*(2x-1)}{\left(x^2 - x - 6\right)^3}$
[/mm]
Nun multiplizieren wir den Zähler aus und fassen zusammen:
$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-12x^2 + 12x + 72 + 12*(2x-1)^2}{\left(x^2 - x - 6\right)^3}$
[/mm]
$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-12x^2 + 12x + 72 + 12*(4x^2-4x+1)}{\left(x^2 - x - 6\right)^3}$
[/mm]
$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{-12x^2 + 12x + 72 + 48x^2-48x+12}{\left(x^2 - x - 6\right)^3}$
[/mm]
$f''(x) \ = \ [mm] \bruch{36x^2 - 36x + 84}{\left(x^2 - x - 6\right)^3}$
[/mm]
Wenn Du zunächst versuchst, die Wendestellen zu ermitteln, wirst Du sehen, daß wir die 3. Ableitung $f'''(x)$ nicht mehr benötigen!
Bitte die 2. Ableitung nochmal nachrechnen, ich garantiere nicht für Fehlerfreiheit ...
Gruß
Loddar
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