Gebiete in \IC < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Di 05.05.2015 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Seien [mm] G_{1}, G_{2} \subseteq \IC [/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen Sie:
Die Menge [mm] G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm] ist ein Gebiet in [mm] \IC. [/mm] |
Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition offen und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm] G_{1}-G_{2} [/mm] ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit schon ins Stocken.
Kann ich [mm] G_{1}-G_{2} [/mm] schreiben als [mm] G_{1} \setminus G_{2} [/mm] mit [mm] G_{1}\setminus G_{2} [/mm] = [mm] \{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Di 05.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> Sie:
> Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
>
> Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
> Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition offen
> und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> schon ins Stocken.
> Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
Nein. So ist [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so (siehe oben):
$ [mm] G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm] $.
FRED
P.S.: für festes z [mm] \in G_1 [/mm] setze
[mm] A_z:=\{z-w: w \in G_2\}
[/mm]
Zeige: [mm] A_z [/mm] ist offen.
Weiter ist [mm] G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z
[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 05.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> > Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> > Sie:
> > Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> > ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
> >
> > Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
> > Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition offen
> > und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> > ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> > zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> > schon ins Stocken.
> > Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> > mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
>
> Nein. So ist [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so
> (siehe oben):
>
> [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm].
>
> FRED
>
> P.S.: für festes z [mm]\in G_1[/mm] setze
>
> [mm]A_z:=\{z-w: w \in G_2\}[/mm]
>
> Zeige: [mm]A_z[/mm] ist offen.
>
> Weiter ist [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm]
>
> FRED
> >
>
Danke für die Hilfe.
Ich denke ich verstehe worauf es rauslaufen soll: [mm] G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z [/mm] ist als Vereinigung offener Mengen wieder offen. Nur muss ich dazu zeigen, dass [mm] A_{z} [/mm] offen ist.
Ist es sinnvoll hierzu die Stetigkeit der Subtraktion auszunutzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Di 05.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> > > Sie:
> > > Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> > > ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
> > >
> > > Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
> > > Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition
> offen
> > > und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> > > ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> > > zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> > > schon ins Stocken.
> > > Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> > > mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
> >
> > Nein. So ist [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so
> > (siehe oben):
> >
> > [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm].
> >
> > FRED
> >
> > P.S.: für festes z [mm]\in G_1[/mm] setze
> >
> > [mm]A_z:=\{z-w: w \in G_2\}[/mm]
> >
> > Zeige: [mm]A_z[/mm] ist offen.
> >
> > Weiter ist [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm]
> >
> > FRED
> > >
> >
>
> Danke für die Hilfe.
> Ich denke ich verstehe worauf es rauslaufen soll:
> [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm] ist als Vereinigung
> offener Mengen wieder offen.
genau, denn beliebige Vereinigungen offener Mengen sind wieder offen.
> Nur muss ich dazu zeigen, dass [mm]A_{z}[/mm] offen ist.
Das ist hinreichend.
> Ist es sinnvoll hierzu die Stetigkeit der Subtraktion
> auszunutzen?
Ich würde es so machen: Es sei
$p [mm] \in A_z\,,$
[/mm]
also
[mm] $z-p=w_0$ [/mm] mit einem [mm] $w_0 \in G_2$.
[/mm]
Sei nun [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass
[mm] $U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2$.
[/mm]
Sei $p' [mm] \in U_{\epsilon}(p)$. [/mm] Dann gilt
$|p'-p| < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Setze [mm] $w':=w_0+(p'-p)$. [/mm] Dann ist wegen
[mm] $|w'-w_0|=|p'-p| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] und [mm] $U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2$
[/mm]
also $w' [mm] \in G_2$.
[/mm]
Wir haben noch $p' [mm] \in A_z$ [/mm] nachzuweisen: Aus
[mm] $z-p'=z-(w'-w_0+p)=w_0+p-(w'-w_0+p)=w_0+(w_0-w')$
[/mm]
folgt $z-p' [mm] \in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2$.
[/mm]
Wegen $p'=z-(z-p')$ ergibt sich somit also
$p' [mm] \in A_z\,.$
[/mm]
P.S. Es kann sein, dass ich mich irgendwo im Kreis gedreht habe und sich
manches auch einfacher/schneller hinschreiben läßt. ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 06.05.2015 | | Autor: | Calculu |
> Hallo,
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> > > > Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> > > > Sie:
> > > > Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> > > > ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
> > > >
> > > > Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
> > > > Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition
> > offen
> > > > und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> > > > ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> > > > zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> > > > schon ins Stocken.
> > > > Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> > > > mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
> > >
> > > Nein. So ist [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so
> > > (siehe oben):
> > >
> > > [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm].
> > >
>
> > > FRED
> > >
> > > P.S.: für festes z [mm]\in G_1[/mm] setze
> > >
> > > [mm]A_z:=\{z-w: w \in G_2\}[/mm]
> > >
> > > Zeige: [mm]A_z[/mm] ist offen.
> > >
> > > Weiter ist [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm]
> > >
>
> > > FRED
> > > >
> > >
> >
> > Danke für die Hilfe.
> > Ich denke ich verstehe worauf es rauslaufen soll:
> > [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm] ist als Vereinigung
> > offener Mengen wieder offen.
>
> genau, denn beliebige Vereinigungen offener Mengen sind
> wieder offen.
>
> > Nur muss ich dazu zeigen, dass [mm]A_{z}[/mm] offen ist.
>
> Das ist hinreichend.
>
> > Ist es sinnvoll hierzu die Stetigkeit der Subtraktion
> > auszunutzen?
>
> Ich würde es so machen: Es sei
>
> [mm]p \in A_z\,,[/mm]
>
> also
>
> [mm]z-p=w_0[/mm] mit einem [mm]w_0 \in G_2[/mm].
>
> Sei nun [mm]\epsilon > 0[/mm] so, dass
>
> [mm]U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm].
>
> Sei [mm]p' \in U_{\epsilon}(p)[/mm]. Dann gilt
>
> [mm]|p'-p| < \epsilon[/mm].
>
> Setze [mm]w':=w_0+(p'-p)[/mm]. Dann ist wegen
>
> [mm]|w'-w_0|=|p'-p| < \epsilon[/mm] und
> [mm]U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm]
>
> also [mm]w' \in G_2[/mm].
>
> Wir haben noch [mm]p' \in A_z[/mm] nachzuweisen: Aus
>
> [mm]z-p'=z-(w'-w_0+p)=w_0+p-(w'-w_0+p)=w_0+(w_0-w')[/mm]
>
> folgt [mm]z-p' \in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm].
Wieso kann ich aus z-p' = [mm] w_0+(w_0-w') [/mm] folgern, dass z-p' [mm] \in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2 [/mm] ???
>
> Wegen [mm]p'=z-(z-p')[/mm] ergibt sich somit also
>
> [mm]p' \in A_z\,.[/mm]
Dieser Schritt ist mir auch nicht klar.
Vielen Dank für deine Mühe!
>
> P.S. Es kann sein, dass ich mich irgendwo im Kreis gedreht
> habe und sich
> manches auch einfacher/schneller hinschreiben läßt. ^^
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mi 06.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > > > Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> > > > > Sie:
> > > > > Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> > > > > ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
> > > > >
> > > > > Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
> > > > > Ich weiß, dass die beiden Gebiete per
> Definition
> > > offen
> > > > > und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> > > > > ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> > > > > zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> > > > > schon ins Stocken.
> > > > > Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> > > > > mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
> > > >
> > > > Nein. So ist [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so
> > > > (siehe oben):
> > > >
> > > > [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm].
> >
> > >
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> > > > FRED
> > > >
> > > > P.S.: für festes z [mm]\in G_1[/mm] setze
> > > >
> > > > [mm]A_z:=\{z-w: w \in G_2\}[/mm]
> > > >
> > > > Zeige: [mm]A_z[/mm] ist offen.
> > > >
> > > > Weiter ist [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm]
> >
> > >
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> > > > FRED
> > > > >
> > > >
> > >
> > > Danke für die Hilfe.
> > > Ich denke ich verstehe worauf es rauslaufen soll:
> > > [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm] ist als Vereinigung
> > > offener Mengen wieder offen.
> >
> > genau, denn beliebige Vereinigungen offener Mengen sind
> > wieder offen.
> >
> > > Nur muss ich dazu zeigen, dass [mm]A_{z}[/mm] offen ist.
> >
> > Das ist hinreichend.
> >
> > > Ist es sinnvoll hierzu die Stetigkeit der Subtraktion
> > > auszunutzen?
> >
> > Ich würde es so machen: Es sei
> >
> > [mm]p \in A_z\,,[/mm]
> >
> > also
> >
> > [mm]z-p=w_0[/mm] mit einem [mm]w_0 \in G_2[/mm].
> >
> > Sei nun [mm]\epsilon > 0[/mm] so, dass
> >
> > [mm]U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm].
> >
> > Sei [mm]p' \in U_{\epsilon}(p)[/mm]. Dann gilt
> >
> > [mm]|p'-p| < \epsilon[/mm].
> >
> > Setze [mm]w':=w_0+(p'-p)[/mm]. Dann ist wegen
> >
> > [mm]|w'-w_0|=|p'-p| < \epsilon[/mm] und
> > [mm]U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm]
> >
> > also [mm]w' \in G_2[/mm].
> >
> > Wir haben noch [mm]p' \in A_z[/mm] nachzuweisen: Aus
> >
> > [mm]z-p'=z-(w'-w_0+p)=w_0+p-(w'-w_0+p)=w_0+(w_0-w')[/mm]
> >
> > folgt [mm]z-p' \in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm].
>
> Wieso kann ich aus z-p' = [mm]w_0+(w_0-w')[/mm] folgern, dass z-p'
> [mm]\in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm] ???
Es ist
[mm] $(z-p')-w_0=w_0-w'$
[/mm]
folglich
[mm] $|(z-p')-w_0|=|w_0-w'|< \epsilon$
[/mm]
daher
[mm] $z-p'\in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2$
[/mm]
> >
> > Wegen [mm]p'=z-(z-p')[/mm] ergibt sich somit also
> >
> > [mm]p' \in A_z\,.[/mm]
>
> Dieser Schritt ist mir auch nicht klar.
Es ist p'=z-(z-p') und z-p' [mm] \in G_2.
[/mm]
Dann folgt [mm]p' \in A_z\,.[/mm] nach Def. von [mm] A_z.
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank für deine Mühe!
>
> >
> > P.S. Es kann sein, dass ich mich irgendwo im Kreis gedreht
> > habe und sich
> > manches auch einfacher/schneller hinschreiben läßt.
> ^^
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 06.05.2015 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank. Jetzt ist es mir klar geworden.
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