Gauß'scher Integralsatz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:44 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Die Gleichheit der Integrale:
[mm] \integral_{A}{F(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{\delta A}{ dSx}
[/mm]
A [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] komp. mit glattem Rand, v: [mm] \delta [/mm] A [mm] \to \IR^{n} [/mm] äußeres Einheits-Normalenfeld
[mm] F=(F_{1}, [/mm] ..., [mm] F_{n}): [/mm] U [mm] \to \IR^{n} [/mm] stet. diffbar mit U [mm] \sebseteq \IR^{n} [/mm] off. Umgebung von A, F [mm] \in C^{1}(A,\IR^{n}) [/mm] |
Also meine Schwierigkeit hierbei ist, wie so ein Integral über den Rand aussieht, wie ich mir das vorstellen kann.
Wie würde ich diese Gleichung nicht Formelmäßig beschreiben?
Etwa so, dass vorher mein F über die ganze Fläche integriert wurde und durch div in alle Richtungen, und jetzt nur noch am Rand, aber durch die v's auch in alle Richtungen? Und was genau sagt dieses S aus? Das hängt ja mit der Gamschen Determinante zusammen... irgendwie.
Dankeschön! Lg Loko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mi 29.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
so sieht der satz nicht aus! was soll den bei dir F(x)dx sein?
lies mal genauer nach,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | | Hab es genau aus der Vorlesung übernommen, die wiederum O.Forsters Analysis 3 entspricht. |
ich hab nur erst die Gleichung und danach die Beschreibung was die einzelnen Sachen sind, vertauscht.
F wurde, wie gesagt, wie folgt beschrieben:
F = [mm] (F_{1}, [/mm] ..., [mm] F_{n}): [/mm] U [mm] \to \IR^{n} [/mm] stetig diffbar mit U [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] ist offene Umgebung zu A.
F ist also ein Vektorfeld.
Alles wie in der Vorlesung. So stehts auch im Forster Analysis 3
Tschuldigung, wenn du das meinst, ich hab bei der linken Seite [mm] \integral_{A}{div F(x)d^{n}x} [/mm] das hoch n vergessen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 29.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt macht es Sinn.
anschaulich divF ist in 2 und 3d sowas wie die Quellstarke des Vektorfeldes (wie stark es sich ibberhalb des volumens ändert. es wird also über die quellen in dem volumen integriert.
rechts steht, was durch die Oberfläche netto rausfliesst.
Wenn du dir das Vektorfeld [mm] \vec{F} [/mm] als flusslinien vorstellst, hast du ne anschauliche Vorstellung in 2d und 3d.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Loko |
Vielen Dank!
kannst du mir vllt noch genauer erklären wie genau man das dS(x) versteht? Es wird hier "Oberflächenelement" genannt, aber was genau macht es mit meinem Integranden?
Lg Loko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:06 Do 30.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dS oft auch dA ist das infinitesimale Flächenelement. integrierst du etwa über ein Rechteck seiten parallel zu den achsen ist dS einfach dx bzw dy auf den entsprechenden Seiten. über einen Quader im [mm] R^3 [/mm] ist dS (S von surface)
dx*dy bzw dx*dz und dy*dz
wenn die Fläche nicht so einfach ist, wirds halt komplizierter. ein Kreis um 0 etwa in Polarkoordinaten ist ds [mm] =rd\phi.
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Do 30.06.2011 | | Autor: | Loko |
Super! Dankeschön :)
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