www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Gauß'scher Integralsatz
Gauß'scher Integralsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gauß'scher Integralsatz: Einführung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Do 13.09.2007
Autor: Deuterinomium

Also, unser Professor hat zur Einführung des Gauß'schen Integralsatz folgendes geschrieben:

Sei [mm] B\subset IR^2 [/mm] ein Normalbereich und parametrisiere den Rand [mm] \partial B[/mm] durch:
[mm] C_{1}:t\in[a,b]\mapsto(t,\alpha(t)) [/mm]
[mm] C_{2}:t\in[\alpha(b),\beta(b)]\mapsto(b,t) [/mm]
[mm] C_{3}:t\in[a,b]\mapsto(t,\beta(t)) [/mm]
[mm] C_{4}:t\in[\alpha(a),\beta(a)]\mapsto(a,t) [/mm]
Sei C der zusammengesetzte Weg aus [mm] C_{1},...,C_{4} [/mm].
Sei ferner [mm] F=(F_{1},F_{2}):B\to\IR^2 [/mm] ein stetiges Vektorfeld, so dass:
[mm] \bruch{\partialF_{1}}{\partialx} [/mm] und [mm]\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}[/mm] stetig nach [mm]\partialB[/mm] fortsetzbar .
Es gilt:
[mm] \integral\integral_{B}{\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}(x,y) dxdy} = \integral_{a}^{b}{dx}\integral_{\alpha(x)}^{\beta(x)}{\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}(x,y) dxdy} [/mm] (nach Fubini)
[mm]=\integral_{a}^{b}{F_{2}(x,\beta(x))-F_{2}(x,\alpha(x)) dx} =\integral_{a}^{b}{F_{2}(x,\beta(x))-F_{2}(x,\alpha(x)) dx} =\integral_{a}^{b}{F_{2}(t,\beta(t))-F_{2}(t,\alpha(t)) dt} [/mm]

Bis hierhin meine ich es verstanden zu haben, aber jetzt kommt etwas, dass ich einfach nicht verstehe:
[mm] =\integral_{a}^{d}{F_{2}(C(t))(-\mu'(t)) dt} \quad wobei \quad (\mu,\nu)=C:[a,d]\to \IR^2[/mm]
[mm]=\integral_{a}^{d}{F_{2}(C(t))(\bruch{-\mu'(t)}{\parallel C'(t) \parallel})\parallel C'(t) \parallel dt} [/mm]
[mm]=\integral_{\gamma}{F_{2}v_{y}ds} \quad wobei \quad v(v_{x},v_{y})=\bruch{1}{\parallel C'(t) \parallel}(\nu',-\mu') [/mm]
[mm]=\integral_{\partialB}{F_{2}v_{y} ds} [/mm]  

Ab da ist der Rest dann wieder klar! Nur dieses Stück wirft mich voll aus der Bahn! Kann mir von euch da vielleicht jemand weiterhelfen?

Gruß
Deuterinomium

        
Bezug
Gauß'scher Integralsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:50 Fr 14.09.2007
Autor: rainerS

Hallo,

> Also, unser Professor hat zur Einführung des Gauß'schen
> Integralsatz folgendes geschrieben:
>  
> Sei [mm]B\subset IR^2[/mm] ein Normalbereich und parametrisiere den
> Rand [mm]\partial B[/mm] durch:
>  [mm]C_{1}:t\in[a,b]\mapsto(t,\alpha(t))[/mm]
>  [mm]C_{2}:t\in[\alpha(b),\beta(b)]\mapsto(b,t)[/mm]
>  [mm]C_{3}:t\in[a,b]\mapsto(t,\beta(t))[/mm]
>  [mm]C_{4}:t\in[\alpha(a),\beta(a)]\mapsto(a,t)[/mm]
>  Sei C der zusammengesetzte Weg aus [mm]C_{1},...,C_{4} [/mm].
>  Sei
> ferner [mm]F=(F_{1},F_{2}):B\to\IR^2[/mm] ein stetiges Vektorfeld,
> so dass:
>  [mm]\bruch{\partialF_{1}}{\partialx}[/mm] und
> [mm]\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}[/mm] stetig nach [mm]\partialB[/mm]
> fortsetzbar .
>  Es gilt:
>  
> [mm]\integral\integral_{B}{\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}(x,y) dxdy} = \integral_{a}^{b}{dx}\integral_{\alpha(x)}^{\beta(x)}{\bruch{\partialF_{2}}{\partialy}(x,y) dxdy}[/mm]
> (nach Fubini)
>  [mm]=\integral_{a}^{b}{F_{2}(x,\beta(x))-F_{2}(x,\alpha(x)) dx} =\integral_{a}^{b}{F_{2}(x,\beta(x))-F_{2}(x,\alpha(x)) dx} =\integral_{a}^{b}{F_{2}(t,\beta(t))-F_{2}(t,\alpha(t)) dt}[/mm]
>  
> Bis hierhin meine ich es verstanden zu haben, aber jetzt
> kommt etwas, dass ich einfach nicht verstehe:
>  [mm]=\integral_{a}^{d}{F_{2}(C(t))(-\mu'(t)) dt} \quad wobei \quad (\mu,\nu)=C:[a,d]\to \IR^2[/mm]

Du musst dir den Weg genau ansehen: er besteht aus [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm], und dann [mm]C_3[/mm] und [mm]C_4[/mm], aber diese beiden in Gegenrichtung (wichtig wegen der Vorzeichen). Die genannte Parametrisierung [mm](\mu,\nu)=C:[a,d]\to \IR^2[/mm] zerfällt daher in 4 Teile, mit geeigneter Verschiebung des Parameters t auf den Einzelstücken:
[mm]C_1: t\in[a,b]\mapsto(t,\alpha(t))[/mm]
[mm]C_{2}:t\in[\alpha(b)+(b-\alpha(b)),\beta(b)+(b-\alpha(b))]\mapsto(b,t-(b-\alpha(b)))[/mm]
   usw.

[mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] bezeichnen die x- und y-Koordinaten der Punkte auf C.

Bei [mm]C_2[/mm] und [mm]C_4[/mm] ist die x-Koordinate konstant, also ist entlang dieser beiden Teilstrecken [mm]\mu'=0[/mm].

Bei [mm]C_1[/mm] und [mm]C_3[/mm] ist die x-Koordinate gleich t (plus der passenden konstanten Verschiebung), also ist [mm]\mu'=1[/mm] bzw. [mm]\mu'=-1[/mm] (Gegenrichtung!).

Damit hast du gerade die beiden Terme aus dem Integral vorher.

Viele Grüße
  Rainer

Bezug
                
Bezug
Gauß'scher Integralsatz: Dankeschön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Fr 14.09.2007
Autor: Deuterinomium

Ja super! Jetzt hats klick gemacht, da hätte ich aber auch allein drauf kommen können!

Vielen Dank!!!!

Gruß
Deuterinomium

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]