Gauß'scher Berg < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Di 12.06.2007 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | Man betrachte den Gauß'schen Berg:
[mm] f(x,y)=e^{-(x^2+y^2)} [/mm] für x,y [mm] \in \IR
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) Berg
Jemand wandert auf diesem Berg entlang seines Weges x*y=4; x>0. Bei welchen Koordinaten (x- und y-Wert) wird jemand den höchsten Punkt erreichen? |
Any ideas? =)
Also ich habe mir folgende Gedanken gemacht:
Gegeben ist die Funktion zum Berg und auch andere zusätzliche Informationen. Nun Frage ich mich doch als erstes: was ist überhaupt die aufgabe? ich vermute mal hier gehts um die spitze des berges? also im prinzip um den extrem punkt der funktion?
da war meine idee: die gauß-funktion ableiten und die extrem-stellen berechnen. nur wofür dann die anderen informationen? also ich muss ehrlich sagen, die aufgabe isn knaller^^ =)
hat da jemand eine idee, wie man die lösen könnte?
LG
Bunti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 12.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
KEINE PANIK! Das ist eine Extremwertaufgabe mit einer Nebenbedingung :)
Also lass dich nicht abschrecken.
> da war meine idee: die gauß-funktion ableiten und die
> extrem-stellen berechnen. nur wofür dann die anderen
> informationen?
Und was kriegst du raus für den positiven Extremwert? So wie es ausschaut ist er eindeutig. Gilt dann für diesen Extremwert xy=4? Wenn ja, dann bist du fertig :)
Wenn nicht, dann musst du eine Methode zum Ausrechnen von Extremwerten unter Nebenbedingungen. Die bekannteste ist die Lagrange-Multiplikatoren-Methode.
Dann hast du als einzige Nebenbedingung g(x,y)=0 mit g(x,y)=xy-4 und hast [mm] h(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda*g(x,y).
[/mm]
Du sollst die kritischen Stellen der h-Funktion ausrechnen, das ist meistens ein LGS, das du lösen musst. Dann kriegst du Werte für x, y und [mm] \lambda [/mm] raus, die (x,y) Paare musst du mit f auswerten und schauen, in welchem Punkt der Max angenommen wird.
Es ist mir aufgefallen, dass der Artikel über Langrange-Multiplikatoren auf der englischen Wiki deutlich besser ist: Lagrange-multipliers.
Es ist viel Arbeit, aber so kompliziert ist es auch nicht.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 12.06.2007 | | Autor: | Max80 |
hmm. ok danke! ich werde mich daran mal versuchen.
so ganz verstehe ich aber noch nicht diese nebenbedingung.
also mal zusammengefasst:
wie haben die funktion, und die frage lautet, wann jemand am höchsten punkt ist.
für mich heißt das auf deutsch: was sind die extrema?!
die nebenbedingung ist in einem ziemlich komischem satz verpackt wie ich finde. "jemand wandert auf diesem berg (also irgendwo, er muss nicht unbedingt über die spitze des berges?!) entlang seines weges xy=4 (d.h.?).
heißt das, er läuft einen weg lang, bei dem xy IMMER =4 ist? d.h. egal wo er sich befindet, xy=4 trifft an jeder stelle wo er lang läuft zu?
woher kommt die funktion g(x,y)=0 ? also was genau ist das für ne funktion? es ist die bedingung, aber warum dann g(x,y)?
vielen Dank!!!
LG
Bunti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Di 12.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> hmm. ok danke! ich werde mich daran mal versuchen.
>
> so ganz verstehe ich aber noch nicht diese nebenbedingung.
>
> also mal zusammengefasst:
> wie haben die funktion, und die frage lautet, wann jemand
> am höchsten punkt ist.
>
> für mich heißt das auf deutsch: was sind die extrema?!
>
> die nebenbedingung ist in einem ziemlich komischem satz
> verpackt wie ich finde. "jemand wandert auf diesem berg
> (also irgendwo, er muss nicht unbedingt über die spitze des
> berges?!) entlang seines weges xy=4 (d.h.?).
>
> heißt das, er läuft einen weg lang, bei dem xy IMMER =4
> ist? d.h. egal wo er sich befindet, xy=4 trifft an jeder
> stelle wo er lang läuft zu?
Genau. Unter allen (x,y)-Paaren, mit der Eigenschaft xy=4 will man wissen welches Paar f maximiert. Deine Funktion hat einen Extremwert, z.B. (3,3), aber für ihn gilt xy=4 nicht. OK?
> woher kommt die funktion g(x,y)=0 ? also was genau ist das
> für ne funktion? es ist die bedingung, aber warum dann
> g(x,y)?
Die Funktion g ist einfach die Nebenbedingung, mehr nicht. Man kann sie taufen wie man mag, sogar xy-4. Wichtig ist nur, dass die Konstante (4) auf die linke Seite gebracht wird.
Gruß,
dormant
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![[]](http://home.arcor.de/xdestroy/berg.JPG){kind=small}
Berg