Gauss/Stokes etc. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Freunde,
heute habe ich mal ein Problem, ein etwas kniffliges wie ich befuerchte. Kurz gesagt geht es darum, dass ich den flaecheninhalt eines berandeten flaechenstueckes im [mm] $R^3$ [/mm] als integral ueber dessen Rand darstellen moechte.
Wenn also [mm] $\Sigma\subset R^3$ [/mm] ein glattes flaechenstueck mit Rand [mm] $\partial\Sigma$ [/mm] ist moechte ich irgendwie
[mm] $\int_{\Sigma}\; dS=\int_{\partial\Sigma} [/mm] f [mm] \; [/mm] ds$ darstellen.
Fuer Volumina [mm] $\Omega$ [/mm] folgt eine solche Formel ja direkt aus dem Satz von Gauss nach einsetzen des Identitaets-vektorfeldes [mm] $F=\mathbf{x}$:
[/mm]
[mm] $\int_{\Omega}\; [/mm] dV [mm] =\frac1n \int_{\partial\Omega} \nu\cdot\mathbf{x}\; [/mm] dS$
Fuer flaechen gibt es nun zb. den satz von stokes, der sagt
[mm] $\int_{\Sigma} \mbox{rot} F\cdot dS=\int_{\partial\Sigma} F\cdot [/mm] ds$
Um auf der linken seite auf den flaecheninhalt zu kommen, braucht man ein Vektorfeld $F$ mit [mm] $\mbox{rot} F\cdot \nu=1$ [/mm] auf [mm] $\Sigma$. [/mm] Ob es so ein VF gibt, geschweige denn wie es aussieht, ist voellig unklar.
Ausserdem gibt es noch den allgemeinen gaussschen satz fuer flaechen, der sagt:
[mm] $\int_{\Sigma} \mbox{div}_{\Sigma} F\; [/mm] dS [mm] =\int_{\partial\Sigma} F\cdot \nu_{\Sigma} [/mm] ds$
fuer tangentiale VF $F$, Oberflaechendivergenz [mm] $\mbox{div}_{\Sigma}$ [/mm] und Conormale [mm] $\nu_{\Sigma}$. [/mm] Auch hier ist es unklar, wie man weiterkommt.
Es bleibt natuerlich auch die Frage, ob eine solche darstellung des flaecheninhaltes im allgemeinen ueberhaupt moeglich ist....
Hat jemand von Euch vielleicht eine Idee?
Vielen Dank im voraus und
viele Gruesse aus Bulgarien
Matthias
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Do 24.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich habe jetzt nicht verstanden was genau dein Problem ist.
Falls du wissen willst, in wie weit es zu einem gegebenen Vektorfeld eine passende Rotation, etc. gibt, dann kann ich dir antworten:
Sei [mm]N\subset\IR^3[/mm] offen und zusammenziehbar und u ein [mm] C^2-Vektorfeld [/mm] auf N. Dann gilt:
a) [mm] \exists v\in C^2(N,\IR)|u=grad [/mm] v [mm] \gdw [/mm] rot u=0.
b) [mm] \exists V\in C^2(N,\IR^3)|u=rot [/mm] V [mm] \gdw [/mm] div u=0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Fr 25.07.2008 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
das ist das schoene, wenn man einen beitrag in ein Forum schreibt: man denkt selbst nochmal vernuenftig ueber das problem nach...
ich denke, so wie ich das problem geschildert habe, kann es keine allgemeine loesung geben. Denn:
fuer eine offene menge ist ihr lebesgue volumen tatsaechlich durch die geometrie (form etc.) ihres randes bestimmt. Das gleiche gilt fuer flaechenstuecke mitnichten. Man sich beliebig verschiedene flaechen vorstellen, die alle den gleichen rand haben.
Allerdings habe ich noch eine einschraenkung an meine Flaeche [mm] $\Sigma$: [/mm] sie soll teilmenge einer festen, groesseren referenzflaeche (zb. [mm] $\Gamma$) [/mm] sein. Das sollte die Sache aendern. Muss nochmal drueber nachdenken.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 26.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
