Gauß Algorithmus < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben Sei die Matrix A und der Vektor c durch A= [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 &1 & 0 & 3\\-1 & 1 & 0 & 1 & -2\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\1 & 3 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie mit dem Gauß-Algorithmus die Zeilenstufenform.
(b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge L(A; 0) des homogenen Gleichungssystems Ax = 0
Prüfen Sie, ob es sich wirklich um Lösungen handelt (Probe)
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Hallo,ich habe die Aufgabe gelöst ,aber bin mir nicht sicher ob es richtig ist.Werde sehr dankbar sein,wenn jemand nachschauen kann ,ob das die richtige Lösung ist!
a) A= [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 &1 & 0 & 3\\-1 & 1 & 0 & 1 & -2\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\1 & 3 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}.
[/mm]
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2Z -> 1Z+2Z und 4Z-> 1Z.(-1) + 4Z
A= [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 3\\0 & 2 & 1 & 1 & 1\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\0 & 2 & 1 & 2 & -2\end{pmatrix}.
[/mm]
_________________________________________
3Z -> 2Z.(-1) + 3Z und 4Z -> 2Z.(-1) + 4Z
A= [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 3\\0 & 2 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{pmatrix}
[/mm]
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b) [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}=0
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=0
[/mm]
[mm] 2x_{2}+x_{3}+x_{4}=0
[/mm]
[mm] x_{3}+x_{4}=0
[/mm]
[mm] x_{4}=0
[/mm]
und dann kommt raus -> [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0
[/mm]
L(A,0)={0}
Was ist hier mit probe gemeint?Wie macht man das?
Lg Maya
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:48 So 27.04.2008 | | Autor: | maia842002 |
Hallo danke für die Antwort.Genau hier habe ich Schwierigkeiten.Ich habe die letzte Spalte nicht vergessen aber ich dachte ich muss ohne die rechnen.Da in der Aufgabestellung steht :Gegeben Sei die Matrix A und der Vektor c durch A= [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 3\\-1 & 1 & 0 & 1 & -2\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\1 & 3 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}.Ist [/mm] hier die letzte Spalte nicht vektor c?
Bei b) muss ich die Lösungsmenge L(A,0) des homogenen Gleichungssystems Ax=0 finden, muss ich hier dann die letzte spalte weg lassen ,meinte damit der Vektor c?Hoffentlich versteht man wie ich s meine :)
Lg Maya
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b) Ich habe nochmal überlegt,hab es versucht so zu lösen mit dem Vektor c zusammen aber ich weiss gar nicht ob es richtig ist und vorallem ob ich die letzte spalte hier brauche ,meine damit diese Vektor c.Kann mir jemand weiter helfen?
[mm] A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&3\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&-3\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}
[/mm]
- [mm] x_{5} [/mm] ist frei wählbar
- [mm] x_{4}-3x_{5}=0
[/mm]
[mm] x_{4}=3x_{5}
[/mm]
- [mm] x_{3}+x_{4}-x_{5}=0
[/mm]
[mm] x_{3}+3x_{5}-x_{5}=0
[/mm]
[mm] x_{3}=-2x_{5}
[/mm]
- [mm] 2x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0
[/mm]
[mm] 2x_{2}-2x_{5}+3x_{5}+x_{5}=0
[/mm]
[mm] 2x_{2}=-2x_{5}
[/mm]
[mm] x_{2}=-x_{5}
[/mm]
- [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{5}=0
[/mm]
[mm] x_{1}-x_{5}-2x_{5}+3x_{5}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}=x_{5}\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\\1\end{pmatrix}
[/mm]
und die Lösungsmenge ist [mm] L(A,0)=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}|x_{5}\in\ IR\end{Bmatrix}
[/mm]
Lg Maya
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Hallo maia842002,
> b) Ich habe nochmal überlegt,hab es versucht so zu lösen
> mit dem Vektor c zusammen aber ich weiss gar nicht ob es
> richtig ist und vorallem ob ich die letzte spalte hier
> brauche ,meine damit diese Vektor c.Kann mir jemand weiter
> helfen?
>
>
>
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&3\\0&2&1&1&1\\0&0&0&1&-3\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}[/mm]
Da fehlt doch eine Zeile.
[mm]A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&3 \\ 0&2&1&1&1\\ \red{0} & \red{0} & \red{1} & \red{1} & \red{-1}} \\ 0&0&0&1&-3\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}[/mm]
>
> - [mm]x_{5}[/mm] ist frei wählbar
>
> - [mm]x_{4}-3x_{5}=0[/mm]
> [mm]x_{4}=3x_{5}[/mm]
>
> - [mm]x_{3}+x_{4}-x_{5}=0[/mm]
> [mm]x_{3}+3x_{5}-x_{5}=0[/mm]
> [mm]x_{3}=-2x_{5}[/mm]
>
>
> - [mm]2x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0[/mm]
> [mm]2x_{2}-2x_{5}+3x_{5}+x_{5}=0[/mm]
> [mm]2x_{2}=-2x_{5}[/mm]
> [mm]x_{2}=-x_{5}[/mm]
>
> - [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{5}=0[/mm]
> [mm]x_{1}-x_{5}-2x_{5}+3x_{5}=0[/mm]
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}=x_{5}\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\\1\end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> und die Lösungsmenge ist
> [mm]L(A,0)=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}|x_{5}\in\ IR\end{Bmatrix}[/mm]
Und wo ist das [mm]x_{1}[/mm] ?
[mm]L(A,0)=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}\red{0} \\ -x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}|x_{5}\in
\IR\end{Bmatrix}[/mm]
>
> Lg Maya
Gruß
MathePower
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Hallo ,ja ich habe beim schreiben eine Zeile vergessen aber mich wird es interessieren ob die lösung richtig [mm] ist:\begin{pmatrix} 0\\-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix} [/mm] = [mm] x_{5} [/mm] . [mm] \begin{pmatrix}0\\-1\\-2\\3\\1\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] L(A,0)=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 0\\-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}|x_{5} \in\ IR\end{Bmatrix}
[/mm]
und ob ich Vektor c weglassen soll,meine die letzte Splate und ohne ihn alles Rechen.Ich verstehe nicht die Aufgabestellung und wofür braucht man überhaupt diesen Vektor c?
Lg Maya
Danke Lg Maya
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liebe Maya, also wie gesagt: das ganze mit den 5-er-Vektoren war wohl ein Holzweg...
schönen Abend noch !
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Lg Maya> liebe Maya, also wie gesagt: das ganze mit den
> 5-er-Vektoren war wohl ein Holzweg...
> schönen Abend noch !
Danke schön für deine Antwort.Wenn ich dich richtig verstanden habe nach der Zeilstufenumformung in a) löse ich b) mit der umgeformte Matrix ohne Vector c genau wie ich es gemacht habe und dann das ist die richtige Lösung!
Nochmal danke schön für deine Mühe!
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> also wie gesagt: das ganze mit den
> 5-er-Vektoren war wohl ein Holzweg...
> schönen Abend noch !
>
> Danke schön für deine Antwort.Wenn ich dich richtig
> verstanden habe nach der Zeilstufenumformung in a) löse ich
> b) mit der umgeformte Matrix ohne Vector c genau wie ich es
> gemacht habe und dann das ist die richtige Lösung!
> Nochmal danke schön für deine Mühe!
>
Ja, für die homogenen Lösungen betrachtet man ja das Gleichungssystem mit der gleichen Matrix A, aber mit dem Vektor c = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0} [/mm] auf der rechten Seite.
Vielleicht machst du noch den/die Dozent(e/i)n darauf aufmerksam, in Zukunft bei der Bezeichnung der Matrizen ( A oder A;c ) etwas sorgfältiger zu sein...
Gruß al-Ch.
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> Ich würde sagen, du berechnest mit den Vektoren, die das
> GLS [mm]A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 3\\0 & 2 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}=0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> lösen,
>
> [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 &1 & 0 & 3\\-1 & 1 & 0 & 1 & -2\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\1 & 3 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}*x_{1,2}[/mm]
> und prüfst, ob du hier auch den Nullvektor als Ergebnis
> erhälst.
Die Multiplikationen einer 4x5 - Matrix mit einem 5x1 - Vektor, die du hier vorschlägst, sind gar nicht möglich. Wir haben hier nur Multiplikationen der Form (4x4 Matrix) [mm]*[/mm] (4x1 Vektor)
(Konflikt geregelt, alles i.O. ! al-Chwarizmi)
Und an Maya: eigentlich lag wohl schon in der Aufgabenstellung eine nicht verzeihliche Unklarheit, nämlich da wo es heisst:
> Gegeben sei die Matrix A und der Vektor c durch
> A = $ [mm] \begin{pmatrix}1 & 1 &1 & 0 & 3\\-1 & 1 & 0 & 1 & -2\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\1 & 3 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}. [/mm] $
A wird hier einmal für die (richtige) 4x4- Matrix in A x = c verwendet, im gleichen Atemzug dann
aber auch noch für die um den Vektor c erweiterte 4x5 -Matrix (A;c). Das ist unsinnig.
Du hattest von Anfang an die richtige Lösung!
Al-Chwarizmi
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Gegeben Sei die Matrix A und der Vektor c durch A;c = <---- Schreibweise
> [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 &1 & 0 & 3\\-1 & 1 & 0 & 1 & -2\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\1 & 3 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}.[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie mit dem Gauß-Algorithmus die
> Zeilenstufenform.
>
> (b) Ermitteln Sie die Lösungsmenge L(A; 0) des homogenen
> Gleichungssystems Ax = 0
> Prüfen Sie, ob es sich wirklich um Lösungen handelt
> (Probe)
>
> Hallo,ich habe die Aufgabe gelöst ,aber bin mir nicht
> sicher ob es richtig ist.Werde sehr dankbar sein,wenn
> jemand nachschauen kann ,ob das die richtige Lösung ist!
>
> a) A= [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 &1 & 0 & 3\\-1 & 1 & 0 & 1 & -2\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\1 & 3 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}.[/mm]
>
> _________________________________________
>
> 2Z -> 1Z+2Z und 4Z-> 1Z.(-1) + 4Z
>
> A= [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 3\\0 & 2 & 1 & 1 & 1\\0 & 2 & 2 & 2 & 0\\0 & 2 & 1 & 2 & -2\end{pmatrix}.[/mm]
>
> _________________________________________
>
> 3Z -> 2Z.(-1) + 3Z und 4Z -> 2Z.(-1) + 4Z
>
> A= [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 3\\0 & 2 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> _________________________________________
>
> b) [mm]\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}=0[/mm] <---- hier rechts eigentlich [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
>
>
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=0[/mm]
> [mm]2x_{2}+x_{3}+x_{4}=0[/mm]
> [mm]x_{3}+x_{4}=0[/mm]
> [mm]x_{4}=0[/mm]
>
> und dann kommt raus -> [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0[/mm]
> L(A,0)={0}
>
> Was ist hier mit probe gemeint?Wie macht man das?
>
> Lg Maya
>
liebe Maya,
ich denke dass deine Gedankengänge und Rechnungen absolut in Ordnung sind. Da die Matrix nicht singulär ist, ist der Nullvektor der einzige Lösungsvektor des homogenen Systems.
Eine weitere "Probe" ist in diesem Fall auch kaum mehr nötig, es ist ja offensichtlich!
Gruß al-Ch.
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Hallo hier ist ja mein problem.Ich habe die Aufgabe einmal mit Vektor c gelöst und einmal ohne und jetzt weiss gar nict was stimmt
1.Lösung
> [mm]A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&\red3 \\ 0&2&1&1&\red1\\{0} & {0} & \{1} & {1} & \red{-1}\\ 0&0&0&1&\red-\red3\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}[/mm]
[mm]x_{5}[/mm] ist frei wählbar
[mm]x_{4}-3x_{5}=0[/mm]
[mm]x_{4}=3x_{5}[/mm]
[mm]x_{3}+x_{4}-x_{5}=0[/mm]
[mm]x_{3}+3x_{5}-x_{5}=0[/mm]
[mm] x_{3}=-2x_{5} [/mm]
[mm]2x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0[/mm]
[mm]2x_{2}-2x_{5}+3x_{5}+x_{5}=0[/mm]
[mm]2x_{2}=-2x_{5}[/mm]
[mm]x_{2}=-x_{5}[/mm]
[mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{5}=0[/mm]
[mm]x_{1}-x_{5}-2x_{5}+3x_{5}=0[/mm]
[mm]x_{1}=0[/mm]
[mm]\begin{pmatrix}0\\-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}= \\x_{5}\begin{pmatrix}0\\-1\\-2\\3\\1\end{pmatrix}[/mm]
und die Lösungsmenge ist
[mm]L(A,0)=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}0\\-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}|x_{5}\in\ IR\end{Bmatrix}[/mm]
und einmal wie ich ganz am Anfang geschrieben haben ohne vektor c.Jetzt weiss ich echt nicht mehr was richtig ist und was nicht.Mich interessiert eigentlich nur muss ich die b) mit dem Vektor c rechnen und wenn ja ist das was ich grade geschreiben habe richtig oder man macht das ganz anders.Hoffentlich jetzt kann man verstehen was ich meine
Lg Maya
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> Hallo hier ist ja mein problem.Ich habe die Aufgabe einmal
> mit Vektor c gelöst und einmal ohne und jetzt weiss gar
> nict was stimmt
> 1.Lösung
> > [mm]A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&\red3 \\ 0&2&1&1&\red1\\{0} & {0} & \{1} & {1} & \red{-1}\\ 0&0&0&1&\red-\red3\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\end{pmatrix}[/mm]
obiges macht hier keinen Sinn; es kommen hier gar keine 5-komponentige Vektoren vor
> .................................
> .................................
> .................................
>
>
> und die Lösungsmenge ist
>
> [mm]L(A,0)=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}0\\-x_{5}\\-2x_{5}\\3x_{5}\\x_{5}\end{pmatrix}|x_{5}\in\ IR\end{Bmatrix}[/mm]
>
> und einmal wie ich ganz am Anfang geschrieben haben ohne
> vektor c.Jetzt weiss ich echt nicht mehr was richtig ist
> und was nicht.
Deine anfängliche Lösung (in deinem allerersten posting) war richtig !
> Mich interessiert eigentlich nur muss ich
> die b) mit dem Vektor c rechnen und wenn ja ist das was
> ich grade geschreiben habe richtig
> oder man macht das ganz
> anders.Hoffentlich jetzt kann man verstehen was ich meine
> Lg Maya
Hallo Maya,
ich glaube dass du teilweise auf eine falsche Fährte gelockt worden bist...
(siehe meine Korrektur zum Beitrag von barsch)
Eigentlich ist doch die Matrix A in dem Gleichungssystem A x = c immer
die quadratische 4x4 - Matrix. Die hier auch vorkommenden nicht
quadratischen 4x5 - Matrizen entstehen, indem man an die Matrix A rechts
als zusätzliche Kolonne noch den Vektor c "anhängt". Dies macht
insofern Sinn, weil man dann auf die ganze Matrix (man sollte sie auf
keinen Fall auch wieder mit A bezeichnen, ich bezeichne sie mit A;c )
dieselben Zeilenoperationen ausführen kann, um sie nach dem Gauß-Algorithmus
auf Zeilenstufenform zu reduzieren.
Das Ergebnis der Reduktion ist dann wieder eine 4x5 - Matrix, die man immer
noch sehen muss als eine 4x4 - Matrix mit angehängtem 4x1 - Vektor.
Das ganze stellt dann ein einfacher zu lösendes Gleichungssystem mit den
gleichen Lösungen dar.
lieben Gruß al-Chwarizmi
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)zu antworten:
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
Maia, dass meine Antwort nicht die erhoffte Klarheit gebracht hat. Ich hatte die Matrix fehlinterpretiert. Gemeint war ja im Endeffekt [mm] A|c=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 & 3\\0 & 2 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{pmatrix}.
[/mm]
