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| Aufgabe | Berechne die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit dem Gauß-Verfahren und interpretiere diese Menge geometrisch.
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=6
[/mm]
[mm] x_{1}-x_{2}+3x_{3}=8
[/mm]
$ [mm] 3x_{1}+x_{2}+5x_{3}=20 [/mm] $
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Ich habe bei dieser Aufgabe einige Schwierigkeiten die Lösung, wenn sie richtig ist, zu interpretieren.
Beim Lösen des Gleichungssystems habe ich zunächst die 1.Zeile + 2.Zeile
Dann habe ich -1.Zeile + 3.Zeile gerechnet und zuletzt -2.Zeile + 3.Zeile
Sodass das letzte Gleichungssystem folgendermaßen lautet:
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=6
[/mm]
$ [mm] 2x_{1}+0x_{2}+4x_{3}=14 [/mm] $
[mm] 0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=0
[/mm]
Da man dem Gleichungssystem entnehmen kann, dass es unendlich viele Lösungen für [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} [/mm] gibt, habe ich, um eine allgemeine Lösung zu bekommen, [mm] x_{1}=t [/mm] gesetzt und diesen Wert in die 2. Gleichung eingesetzt.
Dann erhält man: $ [mm] x_{3}=-\bruch{1}{2}t+\bruch{7}{2} [/mm] $
Wenn man nun alle beiden Werte in die 1. Gleichung einsetzt, bekommt man für $ [mm] x_{2}=-\bruch{1}{2}t+\bruch{5}{2}raus.$
[/mm]
Könntet ihr vielleicht schauen, ob diese Lösung überhaupt richtig ist und wie man diese geometrisch interpretieren könnte.Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mi 04.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo predator
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechne die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems
> mit dem Gauß-Verfahren und interpretiere diese Menge
> geometrisch.
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=6[/mm]
> [mm]x_{1}-x_{2}+3x_{3}=8[/mm]
> [mm]3x_{1}+x_{2}+5x_{3}=20[/mm]
>
kannst du sehen , dass das 3 Ebenengleichungen sind?
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe einige Schwierigkeiten die
> Lösung, wenn sie richtig ist, zu interpretieren.
> Beim Lösen des Gleichungssystems habe ich zunächst die
> 1.Zeile + 2.Zeile
> Dann habe ich -1.Zeile + 3.Zeile gerechnet und zuletzt
> -2.Zeile + 3.Zeile
> Sodass das letzte Gleichungssystem folgendermaßen lautet:
> [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=6[/mm]
> [mm]2x_{1}+0x_{2}+4x_{3}=14[/mm]
> [mm]0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=0[/mm]
> Da man dem Gleichungssystem entnehmen kann, dass es
> unendlich viele Lösungen für [mm]x_{1}, x_{2}, x_{3}[/mm] gibt, habe
> ich, um eine allgemeine Lösung zu bekommen, [mm]x_{1}=t[/mm] gesetzt
> und diesen Wert in die 2. Gleichung eingesetzt.
> Dann erhält man: [mm]x_{3}=-\bruch{1}{2}t+\bruch{7}{2}[/mm]
> Wenn man nun alle beiden Werte in die 1. Gleichung
> einsetzt, bekommt man für
> [mm]x_{2}=-\bruch{1}{2}t+\bruch{5}{2}raus.[/mm]
>
> Könntet ihr vielleicht schauen, ob diese Lösung überhaupt
> richtig ist und wie man diese geometrisch interpretieren
> könnte.Danke!
Die Loesung ist richtig!
schreib mal die drei Gleichungen
x1= 0 + t
x2=5/2 +t*(-1/2)
x3=7/2 +t*(-1/2)
als Gleichung fuer den Vektor:
[mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}
[/mm]
siehst du dann was es ist?
Zusammen mit meiner Bemerkung oben?
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Gleiche Aufgabenstellung |
Danke erst mal für die Antwort.
Mir ist nur eingefallen, dass man zu der Lösungsmenge folgende Geradengleichung aufstellen könnte:
[mm] \vec{x}=$ \begin{pmatrix} 0 \\ \bruch{5}{2} \\ \bruch{7}{2} \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] t\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{-1}{2} \\ \frac{-1}{2} \end{pmatrix} [/mm] $
Wär das dann die Möglichkeit die Lösungsmenge geometrisch zu interpretieren oder müsste man da noch was andres zu schreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also ich würde sagen das reicht.
Gruß
Hund
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich finde, man sollte sehen, dass die 3 Gleichungen 3 Ebenen darstellen die sich in EINER Geraden schneiden! bzw. die die berechnete Gerade gemeinsam haben.
Gruss leduart
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