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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Fr 19.12.2008 | | Autor: | kawu |
| Aufgabe | 7x + 3y +5z = -12
-x -2y + 4z = 5
-4x + y -3z = 1 |
Anhand dieses Beispiels würde ich gern erlernen, wie das gausssche Eliminationsverfahren funktioniert.
Habe ich es richtig verstanden, dass die Variablen und die Ergebnisse der Gleichungen in zwei Matrizen zusammengefasst werden? Ungefär so sollte es dann aussehen:
[mm] $\begin{pmatrix}
7 & 3 & 5 \\
-1 & -2 & 4 \\
-4 & 1 & -3
\end{pmatrix}$
[/mm]
und
[mm] $\begin{pmatrix} -12 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
(richtig?)
Nun habe ich gelesen, dass ich die letzten beiden Gleichungen so umformen muss, dass die x-variable verschwindet. Nur wie mache ich das?
lg, KaWu
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Hallo kawu!
Wir haben
[mm] \begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 \\ -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -3 \end{pmatrix}*\vec{x}=\begin{pmatrix} -12 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wir schreiben diese Gleichung zunächst um in die folgende Matrix, in welcher die letzte Spalte die rechte Seite des ursprünglichen Gleichungssystems darstellt.
[mm] \begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12 \\ -1 & -2 & 4 & 5 \\ -4 & 1 & -3 & 1\end{pmatrix}
[/mm]
Nun versuchen wir zu erreichen, die obige Matrix in Zeilenstufenform (ZSF) zu bringen. Dazu beginnen wir mit der letzten Zeile und versuchen durch entsprechende Verrechnungen mit den anderen Zeilen die erste 0 zu bekommen. Das geht wie folgt: Wir subtrahieren die dritte Zeile vom 4- fachen der zweiten Zeile und erhalten demnach
[mm] \begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12 \\ -1 & -2 & 4 & 5 \\ 0 & -9 & 19 & 19 \end{pmatrix}
[/mm]
Die nächste Null, die wir "produzieren" müssen, ist die erste Null der zweiten Zeile. Wir können hier unsere dritte Zeile nicht weiter bearbeiten, da wir sonst unsere 0 aus dem ersten Schritt wieder eliminieren würden. Wir addieren nun das 7- fache der zweiten Zeile zu der ersten Zeile und erhalten so
[mm] \begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12 \\ 0 & -11 & 33 & 23 \\ 0 & -9 & 19 & 19 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt erst können wir die dritte Zeile wieder bearbeiten, in dem wir die (-9) neben der 0 ebenfalls zu 0 machen. Das aber solltest du jetzt mal alleine versuchen. Wenn du es geschafft hast, kannst du bereits die Lösung für z in der dritten Zeile ablesen. Durch "Rückwärtseinsetzen" erhälst du dann auch deine Lösungen für y und x.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 19.12.2008 | | Autor: | kawu |
Ok, -11 und -9 habe ich mit dem kgV auf -99 gebracht, so dass die Matrix so aussah:
[mm] $\begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12\\ 0 & -99 & 297 & 207 \\ 0 & -99 & 209 & 209 \end{pmatrix}$
[/mm]
und dann zueinander addiert:
[mm] $\begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12\\ 0 & -99 & 297 & 207 \\ 0 & 0 & 506 & 416 \end{pmatrix}$
[/mm]
War dieser Schritt soweit richtig?
Was meinst du mit "rückwärtseinsetzen"?
lg, KaWu
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Hallo kawu,
> Ok, -11 und -9 habe ich mit dem kgV auf -99 gebracht, so
> dass die Matrix so aussah:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12\\ 0 & -99 & 297 & 207 \\ 0 & -99 & 209 & 209 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und dann zueinander addiert:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12\\ 0 & -99 & 297 & 207 \\ 0 & 0 & 506 & 416 \end{pmatrix}[/mm]
>
> War dieser Schritt soweit richtig?
Nein, wenn Du addiert hättest, hättest Du die -99 ja nicht "verloren". Du musst subtrahieren. Dann sieht Deine Matrix so aus:
[mm]\begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12\\ 0 & -99 & 297 & 207 \\ 0 & 0 & 88 & -2 \end{pmatrix}[/mm]
> Was meinst du mit "rückwärtseinsetzen"?
Ganz einfach.
Die letzte Zeile stellt ja jetzt 0x+0y+88z=-2 dar, also 88z=-2 oder [mm] z=\red{-}\bruch{1}{44}
[/mm]
Diesen Wert für z kannst Du ja jetzt in der zweiten Zeile schon einsetzen und erhältst dann y...
Ich habe übrigens nicht die ganze Rechnung überprüft. Der Wert [mm] \red{-}1/44 [/mm] sieht ungewöhnlich aus für eine Übungsaufgabe.
lg,
reverend
PS: Nach Marcels berechtigtem Hinweis rot editiert!
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:21 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
> Hallo kawu,
>
> > Ok, -11 und -9 habe ich mit dem kgV auf -99 gebracht, so
> > dass die Matrix so aussah:
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12\\ 0 & -99 & 297 & 207 \\ 0 & -99 & 209 & 209 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > und dann zueinander addiert:
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12\\ 0 & -99 & 297 & 207 \\ 0 & 0 & 506 & 416 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > War dieser Schritt soweit richtig?
>
> Nein, wenn Du addiert hättest, hättest Du die -99 ja nicht
> "verloren". Du musst subtrahieren. Dann sieht Deine Matrix
> so aus:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 7 & 3 & 5 & -12\\ 0 & -99 & 297 & 207 \\ 0 & 0 & 88 & -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> > Was meinst du mit "rückwärtseinsetzen"?
>
> Ganz einfach.
> Die letzte Zeile stellt ja jetzt 0x+0y+88z=-2 dar, also
> 88z=-2 oder [mm]z=\bruch{1}{44}[/mm]
>
Hier muss es heißen [mm] -\bruch{1}{44}! [/mm]
> Diesen Wert für z kannst Du ja jetzt in der zweiten Zeile
> schon einsetzen und erhältst dann y...
>
> Ich habe übrigens nicht die ganze Rechnung überprüft. Der
> Wert 1/44 sieht ungewöhnlich aus für eine Übungsaufgabe.
>
> lg,
> reverend
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Fr 19.12.2008 | | Autor: | kawu |
Upsss, danke für den Hinweis!
Das Prinzip habe ich damit aber wohl verstanden. Werde Später noch einige Probeaufgaben rechnen und hier fragen, ob die Richtig waren.
Danke an alle, die sich hier bemüht haben! :)
lg, KaWu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Der Wert [mm] z=-\bruch{1}{44} [/mm] ist korrekt!
Gruß, Marcel
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