Ganzwertige Polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:08 Mi 21.12.2011 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Betrachten Sie die ganzwertigen Polynome [mm] f\in \IQ[X], [/mm] d.h. Polynome mit der Eigenschaft, dass [mm] f(n)\in \IZ [/mm] für alle [mm] n\in \IZ
[/mm]
Beispiele sind die sogenannten Binomialpolynome [mm] Q_{k}(X):=\bruch{1}{k!}\produkt_{i=0}^{k-1}(X-i)
[/mm]
Der Differezenoperator auf [mm] \Q[X] [/mm] ist definiert durch [mm] \Delta(f):=f(X+1)-f(X)
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \Delta(Q_{k})=Q_{k-1}.
[/mm]
Zeigen Sie ferner, dass für [mm] f\in \Q[X] [/mm] folgende Bedingungen äquivalent sind:
(i) f ist ganzwertig
(ii) f(n) ist ganz für alle [mm] n\in \IZ [/mm] hinreichend groß
(iii) f ist [mm] \IZ- [/mm] Linearkombination der [mm] Q_{k}
[/mm]
(iv) [mm] \Delta(f) [/mm] ist [mm] \IZ-Linearkombination [/mm] der [mm] \Q_{k} [/mm] und mindestens ein f(n) ist ganz |
Hallo!
Nun, der erste Teil ist klar, dass mit dem Differenzenoperator von so nem Binomialpolynom. Bei den Äquivalenzen ist auch einiges schon klar, nämlich (i) nach (ii) und (iii) nach (iv)
Bleiben (ii) nach (iii) und (iv) nach (i)
Wenn f ab einer bestimmten Grenze immer ganz ist, kann man sich dann davon ausgehend so eine Darstellung als Linearkombination der Binomialpolynome basteln? Aber irgendwie hab ich keine Vorstellung davon, wie genau man das anstellen könnte...Okay, f hat natürlich endlichen Grad, also kann man sich auch nur endlich viele [mm] Q_{k} [/mm] hernehmen, nämlich [mm] Q_{0} [/mm] bis [mm] Q_{deg(f)}, [/mm] aber wie ich nun auf die Koeffizienten kommen soll? mmh...
(iv) nach (i) Irgendwie muss man von [mm] \Delta(f) [/mm] Rückschlüsse auf f machen... aber das ist doch nicht injektiv, oder? Im Kern ist doch alles konstante...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mi 21.12.2011 | | Autor: | hippias |
Ich haette eine Idee: Die Abbildung [mm] $\Delta:\IQ[X]\to \IQ[X]$ [/mm] ist [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] Endomorphismus. Beachte, dass fuer [mm] $f\in \IQ[X]\setminus \IQ$ [/mm] gilt, dass [mm] $grad(\Delta(f))= [/mm] grad(f)-1$.
Ueberlege Dir, dass [mm] $Kern\Delta= \IQ$ [/mm] ist.
ii) nach iii): Induktion nach dem Grad von $f$. Im Induktionsschritt ueberlege ich mir, dass [mm] $\Delta(f)$ [/mm] die Induktionsvoraussetzung erfuellt. Nach Induktionsvoraussetzung ist nun [mm] $\Delta(f)= \sum_{l=1}^{m}a_{l} Q_{l}$, $a_{l}\in \IZ$. [/mm] Du hast schon bewiesen, dass [mm] $Q_{l}= \Delta(Q_{l+1})$ [/mm] ist. Damit folgt $f- [mm] \sum_{l=1}^{m}a_{l} Q_{l+1}\in [/mm] Kern [mm] \Delta= \IQ$. [/mm] Nun duertfe es nicht mehr schwer sein sich mit Hilfe der besonderen Eigenschaften von $f$ und [mm] $Q_{j}$ [/mm] zu ueberlegen, dass sogar $f- [mm] \sum_{l=1}^{m}a_{l} Q_{l+1}\in \IZ$ [/mm] gilt.
Das schoene ist: iv) nach i) geht kann analog. Aus der Voraussetzung kann ganz analog wieder geschlossen werden, dass $f- [mm] \sum_{l=1}^{m}a_{l} Q_{l+1}\in \IQ$ [/mm] gilt. Aus der Voraussetzung $f(n)$ ganz fuer ein $n$ ergibt sich wieder $f- [mm] \sum_{l=1}^{m}a_{l} Q_{l+1}\in \IZ [/mm] $
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