Ganze Funktionen bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Do 20.12.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich versuche gerade ein paar Aufgaben aufzuarbeiten, und bin bei folgender Aufgabe hängengeblieben.
Und zwar soll ich alle ganzen Funktionen f mit f(f(z))=z [mm] \forall z\in \IC [/mm] bestimmen.
Die Aufgabe erscheint mir klar und machbar, aber ich habe ehrlich gesagt keinen Plan, wie ich vorgehen muss... Ich würde mich daher über Tipps und Erklärungen sehr freuen!
Vielleicht hat auch jemand ein ähnliches Beispiel für mich? Ich habe schon gegooglet, aber bin bisher nicht fündig geworden...
Vielen Dank schonmal und liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> ich versuche gerade ein paar Aufgaben aufzuarbeiten, und
> bin bei folgender Aufgabe hängengeblieben.
>
> Und zwar soll ich alle ganzen Funktionen f mit f(f(z))=z
> [mm]\forall z\in \IC[/mm] bestimmen.
> Die Aufgabe erscheint mir klar und machbar, aber ich habe
> ehrlich gesagt keinen Plan, wie ich vorgehen muss... Ich
> würde mich daher über Tipps und Erklärungen sehr
> freuen!
Es ist schwer Dir zu helfen, denn ich hab keine Ahnung, was Du verwenden kannst und darfst.
Ist f eine injektive und ganze Funktion und setzt man g(z)=f(1/z) für z [mm] \ne [/mm] 0, so hat g in z=0 eine isolierte Singularität.
Da f injektiv ist, ist auch g injektiv. Damit hat g in z=0 keine wesentliche Singularität (das ist so ein Satz, von dem ich nicht weiß , ob Du ihn verwenden darfst)
Wenn Du Dir die Potenzreihenentwichlung von f um z=0 anschaust und damit dann die Laurententwicklung von g um z=0, so siehst Du:
f ist ein Polynom. Damit ist auch f' ein Polynom. Wegen der Injektivität von f ist f' nullstellenfrei. Damit ist f konstant (warum ?)
Fazit: f hat die Form: f(z)=az+b.
Mit f(f(z))=z $ [mm] \forall z\in \IC [/mm] $ kannst Du nun a und b bestimmen.
FRED
> Vielleicht hat auch jemand ein ähnliches Beispiel für
> mich? Ich habe schon gegooglet, aber bin bisher nicht
> fündig geworden...
>
> Vielen Dank schonmal und liebe Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Do 20.12.2012 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank schonmal für die blitzschnelle Antwort!!!
>
> Ist f eine injektive und ganze Funktion und setzt man
> g(z)=f(1/z) für z [mm]\ne[/mm] 0, so hat g in z=0 eine isolierte
> Singularität.
Den Ansatz verstehe ich glaube ich soweit. Ich weiß allerdings nicht genau, warum wir sagen, dass unser f injektiv ist... Mit deinen weiteren Ergänzungen macht das natürlich Sinn, aber müsste man dann im Grunde nicht auch noch den Fall untersuchen, dass f nicht injektiv ist?
>
> Da f injektiv ist, ist auch g injektiv. Damit hat g in z=0
> keine wesentliche Singularität (das ist so ein Satz, von
> dem ich nicht weiß , ob Du ihn verwenden darfst)
Das ist eine gute Frage, ob ich diesen Satz so verwenden darf. Also in der Form steht er auf jeden Fall nicht in meinem Satz, aber möglicherweise versteckt sich die Aussage in irgendeinem Satz...
Benutzen darf ich den Satz von Casaroti-Weierstrass für isolierte Singularitäten. Also:
Die holomorphe Funktion [mm] f:U\backslash\{a\} \to \IC [/mm] habe in a [mm] \in [/mm] U eine isolierte Singularität. Hat f in a eine wesentliche Singularität, so gibt es zu jedem [mm] w\in\IC [/mm] eine Folge [mm] (z_n)_n [/mm] in [mm] U\backslash\{a\} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} z_n [/mm] = a und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(z_n)=w.
[/mm]
Ebenso darf ich folgenden Satz verwenden:
Die Funktion f habe in a eine isolierte Singularität mit der Laurent-Entwicklung [mm] f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n. [/mm] Dann hat f in a eine wesentliche Singularität genau dann, wenn [mm] a_n \not= [/mm] 0 für unendlich viele n<0.
>
> Wenn Du Dir die Potenzreihenentwichlung von f um z=0
> anschaust und damit dann die Laurententwicklung von g um
> z=0, so siehst Du:
>
> f ist ein Polynom. Damit ist auch f' ein Polynom. Wegen der
> Injektivität von f ist f' nullstellenfrei. Damit ist f
> konstant (warum ?)
Das verstehe ich leider noch nicht wirklich... Also dass mit f Polynom auch f' ein Polynom ist, das ist mir noch klar. Danach komme ich aber noch nicht so wirklich mit... Warum ist f' nullstellenfrei?
>
> Fazit: f hat die Form: f(z)=az+b.
>
> Mit f(f(z))=z [mm]\forall z\in \IC[/mm] kannst Du nun a und b
> bestimmen.
Dazu habe ich nun wie folgt angefangen:
f(az+b)=a(az+b)+b=z
[mm] \gdw a^2 [/mm] z + ab+b =z
[mm] \gdw (a^2-1)z+b(a+1)=0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] (a+1)(a-1)z=-b(a+1)
Nun rätsel ich gerade, wie ich damit nun a und b bestimmen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank schonmal für die blitzschnelle Antwort!!!
>
> >
> > Ist f eine injektive und ganze Funktion und setzt man
> > g(z)=f(1/z) für z [mm]\ne[/mm] 0, so hat g in z=0 eine isolierte
> > Singularität.
>
> Den Ansatz verstehe ich glaube ich soweit. Ich weiß
> allerdings nicht genau, warum wir sagen, dass unser f
> injektiv ist...
Wenn f(f(z))=z ist, so ist f sogar bijektiv. Wenn Du es nicht glaubst, so zeige es.
> Mit deinen weiteren Ergänzungen macht das
> natürlich Sinn, aber müsste man dann im Grunde nicht auch
> noch den Fall untersuchen, dass f nicht injektiv ist?
>
> >
> > Da f injektiv ist, ist auch g injektiv. Damit hat g in z=0
> > keine wesentliche Singularität (das ist so ein Satz, von
> > dem ich nicht weiß , ob Du ihn verwenden darfst)
>
> Das ist eine gute Frage, ob ich diesen Satz so verwenden
> darf. Also in der Form steht er auf jeden Fall nicht in
> meinem Satz, aber möglicherweise versteckt sich die
> Aussage in irgendeinem Satz...
> Benutzen darf ich den Satz von Casaroti-Weierstrass für
> isolierte Singularitäten. Also:
> Die holomorphe Funktion [mm]f:U\backslash\{a\} \to \IC[/mm] habe in
> a [mm]\in[/mm] U eine isolierte Singularität. Hat f in a eine
> wesentliche Singularität, so gibt es zu jedem [mm]w\in\IC[/mm] eine
> Folge [mm](z_n)_n[/mm] in [mm]U\backslash\{a\}[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} z_n[/mm] = a und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(z_n)=w.[/mm]
>
> Ebenso darf ich folgenden Satz verwenden:
> Die Funktion f habe in a eine isolierte Singularität mit
> der Laurent-Entwicklung [mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n.[/mm]
> Dann hat f in a eine wesentliche Singularität genau dann,
> wenn [mm]a_n \not=[/mm] 0 für unendlich viele n<0.
>
> >
> > Wenn Du Dir die Potenzreihenentwichlung von f um z=0
> > anschaust und damit dann die Laurententwicklung von g um
> > z=0, so siehst Du:
> >
> > f ist ein Polynom. Damit ist auch f' ein Polynom. Wegen der
> > Injektivität von f ist f' nullstellenfrei. Damit ist f
> > konstant (warum ?)
>
> Das verstehe ich leider noch nicht wirklich... Also dass
> mit f Polynom auch f' ein Polynom ist, das ist mir noch
> klar. Danach komme ich aber noch nicht so wirklich mit...
> Warum ist f' nullstellenfrei?
Hattet Ihr das nicht:
Ist G ein Gebiet in [mm] \IC [/mm] und f:G [mm] \to \IC [/mm] holomorph und injektiv, so hat f' keine Nullstelle in G.
>
> >
> > Fazit: f hat die Form: f(z)=az+b.
> >
> > Mit f(f(z))=z [mm]\forall z\in \IC[/mm] kannst Du nun a und b
> > bestimmen.
>
> Dazu habe ich nun wie folgt angefangen:
>
> f(az+b)=a(az+b)+b=z
> [mm]\gdw a^2[/mm] z + ab+b =z
> [mm]\gdw (a^2-1)z+b(a+1)=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (a+1)(a-1)z=-b(a+1)
>
> Nun rätsel ich gerade, wie ich damit nun a und b bestimmen
> kann...
>
>
Aus [mm] a^2[/mm] [/mm] z + ab+b =z folgt: [mm] a^2=1 [/mm] und ab+b=0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Do 20.12.2012 | | Autor: | Pia90 |
> > Vielen Dank schonmal für die blitzschnelle Antwort!!!
> >
> > >
> > > Ist f eine injektive und ganze Funktion und setzt man
> > > g(z)=f(1/z) für z [mm]\ne[/mm] 0, so hat g in z=0 eine isolierte
> > > Singularität.
> >
> > Den Ansatz verstehe ich glaube ich soweit. Ich weiß
> > allerdings nicht genau, warum wir sagen, dass unser f
> > injektiv ist...
>
> Wenn f(f(z))=z ist, so ist f sogar bijektiv. Wenn Du es
> nicht glaubst, so zeige es.
Ich glaube es :)
>
>
>
>
> > Mit deinen weiteren Ergänzungen macht das
> > natürlich Sinn, aber müsste man dann im Grunde nicht auch
> > noch den Fall untersuchen, dass f nicht injektiv ist?
> >
> > >
> > > Da f injektiv ist, ist auch g injektiv. Damit hat g in z=0
> > > keine wesentliche Singularität (das ist so ein Satz, von
> > > dem ich nicht weiß , ob Du ihn verwenden darfst)
> >
> > Das ist eine gute Frage, ob ich diesen Satz so verwenden
> > darf. Also in der Form steht er auf jeden Fall nicht in
> > meinem Satz, aber möglicherweise versteckt sich die
> > Aussage in irgendeinem Satz...
> > Benutzen darf ich den Satz von Casaroti-Weierstrass für
> > isolierte Singularitäten. Also:
> > Die holomorphe Funktion [mm]f:U\backslash\{a\} \to \IC[/mm] habe
> in
> > a [mm]\in[/mm] U eine isolierte Singularität. Hat f in a eine
> > wesentliche Singularität, so gibt es zu jedem [mm]w\in\IC[/mm] eine
> > Folge [mm](z_n)_n[/mm] in [mm]U\backslash\{a\}[/mm] mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} z_n[/mm] = a und
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(z_n)=w.[/mm]
> >
> > Ebenso darf ich folgenden Satz verwenden:
> > Die Funktion f habe in a eine isolierte Singularität
> mit
> > der Laurent-Entwicklung [mm]f(z)=\summe_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-a)^n.[/mm]
> > Dann hat f in a eine wesentliche Singularität genau dann,
> > wenn [mm]a_n \not=[/mm] 0 für unendlich viele n<0.
> >
> > >
> > > Wenn Du Dir die Potenzreihenentwichlung von f um z=0
> > > anschaust und damit dann die Laurententwicklung von g um
> > > z=0, so siehst Du:
> > >
> > > f ist ein Polynom. Damit ist auch f' ein Polynom. Wegen der
> > > Injektivität von f ist f' nullstellenfrei. Damit ist f
> > > konstant (warum ?)
> >
> > Das verstehe ich leider noch nicht wirklich... Also dass
> > mit f Polynom auch f' ein Polynom ist, das ist mir noch
> > klar. Danach komme ich aber noch nicht so wirklich mit...
> > Warum ist f' nullstellenfrei?
>
> Hattet Ihr das nicht:
>
> Ist G ein Gebiet in [mm]\IC[/mm] und f:G [mm]\to \IC[/mm] holomorph und
> injektiv, so hat f' keine Nullstelle in G.
In meinem Skript steht es nirgends... Ich werde morgen mal ein paar Kommilitonen fragen, ob es mal irgendwann in der Vorlesung kam, wo ich nicht anwesend war...
>
>
> >
> > >
> > > Fazit: f hat die Form: f(z)=az+b.
> > >
> > > Mit f(f(z))=z [mm]\forall z\in \IC[/mm] kannst Du nun a und b
> > > bestimmen.
> >
> > Dazu habe ich nun wie folgt angefangen:
> >
> > f(az+b)=a(az+b)+b=z
> > [mm]\gdw a^2[/mm] z + ab+b =z
> > [mm]\gdw (a^2-1)z+b(a+1)=0[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm] (a+1)(a-1)z=-b(a+1)
> >
> > Nun rätsel ich gerade, wie ich damit nun a und b bestimmen
> > kann...
> >
> >
> Aus [mm]a^2[/mm][/mm] z + ab+b =z folgt: [mm]a^2=1[/mm] und ab+b=0
>
Oh klar! Danke!
> FRED
EDIT: Sorry, das sollte eigentlich nur eine Mitteilung und keine Frage werden... Finde irgendwie nicht, wo ich das jetzt noch ändern kann...
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