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| Aufgabe | 1) Beweisen Sie: [mm] $\Gamma(n+1) [/mm] = [mm] n*\Gamma(n)$ [/mm] für $ [mm] n\in\IN [/mm] $
2) Zeigen Sie: [mm] $\Gamma(n+1) [/mm] = n!$ für $ [mm] n\in\IN [/mm] $ |
Hallo liebe Leute,
könnte einer von euch bitte einmal die Aufgaben (aus einem Schulbuch) angucken. Bei Beweisen bin ich immer unsicher.
Die Gammafunktion: [mm] $\Gamma(n) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty} x^{n-1}e^{-x} \;dx$
[/mm]
1) [mm] $\Gamma(n+1) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty} x^{n+1-1}e^{-x} \;dx \;=\;\integral_{0}^{\infty} x^{n}e^{-x}\;dx\;=\;\lim_{b \to \infty} \left[-x^n*e^{-x} \right]_{0}^{b}+ n*\integral_{0}^{\infty} x^{n-1}e^{-x}\;dx\;=\;-(0-0)+n*\Gamma(n) [/mm] $
2) I.A. n = 0 [mm] $\Gamma(0+1)\;=\; 0\;! \;=\;1$
[/mm]
I.V. Es wird angenommen, dass [mm] $\Gamma(n+1) [/mm] = [mm] n;\!$ [/mm] für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt.
I.S. Schluss von n auf n+1: [mm] $\Gamma((n+1)+1) \;=\;(n+1)*\Gamma(n+1)$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung
$= [mm] \; (n+1)\;!$
[/mm]
Besten Dank für die Mühe!
LG, Martinius
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Hiho,
> I.V. Es wird angenommen, dass [mm]\Gamma(n+1) = n;\![/mm] für ein
> [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
Hier ist durch deinen Aufschrieb das Fakultätszeichen abhanden gekommen, im Code steht es aber, daher => ok.
>
> I.S. Schluss von n auf n+1: [mm]\Gamma((n+1)+1) \;=\;(n+1)*\Gamma(n+1)[/mm]
> nach Induktionsvoraussetzung
Wenn du es so schreibst, ist nicht klar, worauf sich das "nach Induktionsvoraussetzung" bezieht. Auf das davor, oder das danach… Das davor ist natürlich das, was du vorher gezeigt hast.
Der Rest passt.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Do 23.09.2021 | | Autor: | statler |
Hallo ihr beiden,
der logisch korrekte Beweis des Induktionsanfangs (aus der Definition) fehlt doch.
Gruß Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Fr 24.09.2021 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> der logisch korrekte Beweis des Induktionsanfangs (aus der Definition) fehlt doch.
da hast du natürlich völlig recht!
Danke für den Hinweis.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Sa 02.10.2021 | | Autor: | Martinius |
Hallo liebe Leute,
habt besten Dank für eure Antworten!
LG, Martinius
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