Gamma Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe hier eine aufgabe die ich trotz ewig langem rechnen nicht gelöst bekomme. und zwar soll ich zeigen, dass gilt:
[mm] \integral_{x}^{x+1} [/mm] {log(Gamma(s)) ds}=xlogx-x+ [mm] \bruch{1}{2}log(2Pi)
[/mm]
ich hoffe, dass mir da jemand ein paar tips geben kann.
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Eine konkrete Lösung des Problems schwebt mir noch nicht vor, vielleicht könnte sich folgendes als hilfreich erweisen:
[mm] -\integral_{}^{}{ln(G(x))dx}=x(ln(x)-1)+\limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{k=1}^{n}((k+x)(ln(x+k)-1))-\bruch{x^{2}}{2}ln(n))
[/mm]
Der Schwanz am Ende sieht mir schwer nach Gamma einer halben ganzen Zahl aus...
Zugegeben dumme Frage, aber was hast Du den bislang ausprobiert ?
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mittlerweile bin ich soweit, dass es nur noch auf die konstante am ende, also auf: [mm] \bruch{1}{2}ln(2Pi) [/mm]
ankommt, denn mit der annahme dass das integral =F(x+1)-F(x) ist, wobei F(x)'=log(G(x)) ist, und dann dies und die linke seite der gleichung ableitet, so erhaelt man, dass log(x)=log(x) ist, was sicherlich stimmt.
also bleibt nur noch die konstante, welche durch die ableitung wegfaellt zu zeigen.
wenn ich hier also von 0 bis 1 integriere bekomme ich schwierigkeiten, da gamma ja in 0 einen pol hat. integriere ich von 1 bis 2 oder irgendetwas aehnliches, so komme ich nicht auf die gewuenschte konstante.
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Heureka !!!
Zunächst nur ein Tip:
[mm] ln(G(x))\approx(x+\bruch{1}{2})ln(x)-x+\bruch{ln (2\pi)}{2}
[/mm]
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habe es mit der stirlingschen formel mittlerweile auch schon probiert. leider bleibt bei mir immer noch ein konstanter term von [mm] \bruch{1}{4} [/mm] übrig, den ich absolut nicht wegbekome. eine lösung habe ich mit hilfe der gausschen multiplikationsformel, aber ich weiss auch, dass es mit der stirlingschenformel geht. ich würde nur gerne wissen wie.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Benedikt!
Es tut mir sehr leid, dass dir keiner in der von dir vorgesehen Fälligkeit bei deinem Problem helfen konnte. Ich habe die Frage, da die Fälligkeit abgelaufen ist, jetzt erst einmal "Nur noch für Interessierte" gestellt. Sollte sich ein Funktionentheorie-Experte hierhin verirren und deine Frage beantworten können, wird er das sicherlich noch tun. 
Viele Grüße
Stefan
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