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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 30.09.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Nennen Sie ein Beispiel für:
-eine separable Körpererweiterung die nicht normal ist
-eine normale Körpererweiterung die nicht separabel ist
-eine Körpererweiterung die weder separabel noch normal ist
-eine Galoiserweiterung (nicht [mm] \IC/\IR) [/mm] |
Also nicht normal ist glaube ich [mm] \IR(\delta)/\IR [/mm] wobei [mm] \delta [/mm] die dritte Einheitswurzel ist, weil es eine Nulstelle von [mm] x^6-1 [/mm] ist aber nicht alle übrigen Nullstellen sind drin. Stimmt das?
Eine nicht separable Körpererweiterung ist glaube ich [mm] \IZ_2(x)[y]/\IZ_2[y] [/mm] das wabe ich aber nur irgendwo gelesen.
Jetzt weiß ich leider nicht ob die nicht normale separabel ist oder nicht und ob die nicht separable normal ist. Vielleicht kann mir jemand helfen?
Eine Galoiserweiterung ist glaube ich zum Beispiel [mm] \IR (\delta) [/mm] / [mm] \IR [/mm] wobei [mm] \delta [/mm] die dritte Einheitswurzel [mm] e^{\bruch{2\pii}{3}} [/mm] ist da [mm] \IR [/mm] Charakteristik 0 hat ist es separabel und da dies der Zerfällungskörper von [mm] x^3-1 [/mm] ist ist sie normal.
Stimmt das so?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Do 01.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nennen Sie ein Beispiel für:
> -eine separable Körpererweiterung die nicht normal ist
> -eine normale Körpererweiterung die nicht separabel ist
> -eine Körpererweiterung die weder separabel noch normal
> ist
> -eine Galoiserweiterung (nicht [mm]\IC/\IR)[/mm]
> Also nicht normal ist glaube ich [mm]\IR(\delta)/\IR[/mm] wobei
> [mm]\delta[/mm] die dritte Einheitswurzel ist, weil es eine
> Nulstelle von [mm]x^6-1[/mm] ist aber nicht alle übrigen
> Nullstellen sind drin. Stimmt das?
Wenn [mm] $\delta$ [/mm] eine primitive dritte Einheitswurzel ist, so ist [mm] $-\delta$ [/mm] eine primitive sechste Einheitswurzel. Somit zerfaellt [mm] $x^6 [/mm] - 1$ ueber [mm] $\IR(\delta)$ [/mm] in Linearfaktoren.
Tipp: probier mal andere dritte Wurzeln, die nicht grad Einheitswurzeln sind.
> Eine nicht separable Körpererweiterung ist glaube ich
> [mm]\IZ_2(x)[y]/\IZ_2[y][/mm] das wabe ich aber nur irgendwo
> gelesen.
Das sind keine Koerper, insbesondere ist es also auch keine Koerpererweiterung.
Tipp: Suche nach einer Erweiterung von [mm] $\IZ_2(x)$ [/mm] von Grad 2; eine solche muss nicht separabel sein, aber ist immer normal (da Zerfaellungskoerper eines Minimalpolynoms).
Um etwas zu finden, was weder separabel noch normal ist, versuche es lieber mit [mm] $\IZ_3(x)$ [/mm] oder so.
> Jetzt weiß ich leider nicht ob die nicht normale separabel
> ist oder nicht und ob die nicht separable normal ist.
In Charakteristik 0 ist alles separabel.
> Vielleicht kann mir jemand helfen?
>
> Eine Galoiserweiterung ist glaube ich zum Beispiel [mm]\IR (\delta)[/mm]
> / [mm]\IR[/mm] wobei [mm]\delta[/mm] die dritte Einheitswurzel
Galoiserweiterungen sind separabel und normal. Insbesondere hast du damit selber ein Gegenbeispiel fuer deine erste Behauptung geliefert.
> [mm]e^{\bruch{2\pii}{3}}[/mm] ist da [mm]\IR[/mm] Charakteristik 0 hat ist es
> separabel und da dies der Zerfällungskörper von [mm]x^3-1[/mm] ist
> ist sie normal.
Genau. Wieso behauptest du also oben das Gegenteil?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 05.10.2009 | | Autor: | jumape |
Ok, vielen dank.
Ich habe da aber doch noch eine Frage. In meinem Repetitorium habe ich jetzt ein Beispiel für nicht seperabel gefunden.
Wenn man [mm] \IZ_2(x) [/mm] über [mm] \IZ_2(x^2) [/mm] betrachtet hat man [mm] y^2-x^2=(x+y)^2 [/mm] also x als doppelte Nullstelle aber es ist ein Zerfällungskörper, also nicht separabel und normal, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 05.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe da aber doch noch eine Frage. In meinem
> Repetitorium habe ich jetzt ein Beispiel für nicht
> seperabel gefunden.
> Wenn man [mm]\IZ_2(x)[/mm] über [mm]\IZ_2(x^2)[/mm] betrachtet hat man
> [mm]y^2-x^2=(x+y)^2[/mm] also x als doppelte Nullstelle aber es ist
> ein Zerfällungskörper, also nicht separabel und normal,
> richtig?
Ja, das ist richtig.
Allgemein kann man bei [mm] $\IZ_p$ [/mm] die Erweiterung [mm] $\PZ_p(x)$ [/mm] ueber [mm] $\IZ_p(x^p)$ [/mm] betrachten: das Minimalpolynom von $x$ ist [mm] $y^p [/mm] - [mm] x^p [/mm] = (y - [mm] x)^p$.
[/mm]
LG Felix
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