Galoisgruppe endlicher Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Baumkind |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x^3-2 [/mm] in [mm] \IF_{5}$
[/mm]
Es soll die Galoisgruppe in der Zerfällungskörper bestimmt werden. |
Hi.
Also ich habe f(x) in seine irreduziblen Teile zerlegt:
[mm] $f(x)=(x-3)(x^2+3x+4)$.
[/mm]
Nun weiß ich, dass der Zerfällungskörper
[mm] $\IF_{25}=\IF_{5} [/mm] [X] / [mm] (x^2+3x+4)=\IF_{5} (\sqrt{2})$ [/mm] ist.
Die Galoisgruppe ist, isomorph zu [mm] $\IZ$/$2\IZ$.
[/mm]
Nun meine eigentliche Frage(ich gehe mal davon aus, dass bis jetzt alles richtig ist): Ich habe hier einen Satz der besagt, dass die Gal.-gruppe einer endlichen Erweiterung vom Frobeniushom. erzeugt wird, also hier dann von
$x [mm] \mapsto x^5 [/mm] $.
Leider kann ich diesen Satz, sofern ich ihn richtige verstehe nicht anwenden. kann mir jmd helfen?!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 03.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]f(x)=x^3-2[/mm] in [mm]\IF_{5}$[/mm]
> Es soll die Galoisgruppe in der Zerfällungskörper
> bestimmt werden.
> Hi.
> Also ich habe f(x) in seine irreduziblen Teile zerlegt:
> [mm]f(x)=(x-3)(x^2+3x+4)[/mm].
> Nun weiß ich, dass der Zerfällungskörper
> [mm]\IF_{25}=\IF_{5} [X] / (x^2+3x+4)=\IF_{5} (\sqrt{2})[/mm] ist.
> Die Galoisgruppe ist, isomorph zu [mm]\IZ[/mm]/[mm]2\IZ[/mm].
> Nun meine eigentliche Frage(ich gehe mal davon aus, dass
> bis jetzt alles richtig ist):
Ich glaube auch (hoff ich mal)
> Ich habe hier einen Satz der
> besagt, dass die Gal.-gruppe einer endlichen Erweiterung
> vom Frobeniushom. erzeugt wird, also hier dann von
> [mm]x \mapsto x^5 [/mm].
> Leider kann ich diesen Satz, sofern ich
> ihn richtige verstehe nicht anwenden. kann mir jmd
> helfen?!
Nun, diese Abbildung ist ein Körperisomoprhismus - die Elemente in der Galoisgruppe sind ja genau die Körperisos, die den Grundkörper fix lassen, was ja beim Primkörper immer der Fall ist. Und die Aussage ist: dieser Körperiso erzeugt die Galoisgruppe als Element dieser Gruppe. Klarer?
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Mi 03.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > [mm]f(x)=x^3-2[/mm] in [mm]\IF_{5}$[/mm]
> > Es soll die Galoisgruppe in der Zerfällungskörper
> > bestimmt werden.
> > Hi.
> > Also ich habe f(x) in seine irreduziblen Teile
> zerlegt:
> > [mm]f(x)=(x-3)(x^2+3x+4)[/mm].
> > Nun weiß ich, dass der Zerfällungskörper
> > [mm]\IF_{25}=\IF_{5} [X] / (x^2+3x+4)=\IF_{5} (\sqrt{2})[/mm] ist.
> > Die Galoisgruppe ist, isomorph zu [mm]\IZ[/mm]/[mm]2\IZ[/mm].
> > Nun meine eigentliche Frage(ich gehe mal davon aus,
> dass
> > bis jetzt alles richtig ist):
>
> Ich glaube auch (hoff ich mal)
Ja, stimmt alles bisher. Hab's nachrechnen lassen 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 03.02.2010 | | Autor: | Baumkind |
Erstmal danke für die schnelle Antwort. Was du mir geschrieben hast, war/ist mir soweit klar.
Wäre gut, wenn du das zu folgenden noch mal ja oder nein sagen könntest;):
Man hat für [mm] $\IF_{25}=\IF_{5} [/mm] [X] / [mm] (x^2+3x+4) [/mm] $ die Basis {1,x}.
Nun wird man [mm] $x\mapsto x^5$ [/mm] abgebildet. Explizit also
[mm] $\sqrt{2} \mapsto [/mm] 4 [mm] \sqrt{2}$. [/mm] Also wird meine NS von f [mm] $1+\sqrt{2}$ [/mm] auf die zweite NS [mm] $1-\sqrt{2}=1+4\sqrt{2}$ [/mm] von f im Zerfällungskörper geschickt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Mi 03.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Erstmal danke für die schnelle Antwort. Was du mir
> geschrieben hast, war/ist mir soweit klar.
> Wäre gut, wenn du das zu folgenden noch mal ja oder nein
> sagen könntest;):
> Man hat für [mm]\IF_{25}=\IF_{5} [X] / (x^2+3x+4)[/mm] die Basis
> {1,x}.
Ja, wichtig - das sind die Restklassen , wenn man das Poynom herausteilt.
> Nun wird man [mm]x\mapsto x^5[/mm] abgebildet.
Verwechsel das nicht mit dem x aus der Basis - die Abbildung ist [m]\IF_{5} [X] / (x^2+3x+4)\to\IF_{5} [X] / (x^2+3x+4), y \mapsto y^5 [/m] . Nur zur Sicherheit, du sagst ja nicht, was du nicht weißt :p
> Explizit also
> [mm]\sqrt{2} \mapsto 4 \sqrt{2}[/mm].
Wenn es so ein Element dort gibt, ja. Das stimmt hier, muss aber nicht immer gelten. Es stimmt, da auch [m]\IF_{25}=\IF_{5} [X] / (x^2-2)[/m] gilt und es somit eine Lösung davon gibt.
> Also wird meine NS von f
> [mm]1+\sqrt{2}[/mm] auf die zweite NS [mm]1-\sqrt{2}=1+4\sqrt{2}[/mm] von f
> im Zerfällungskörper geschickt.
Konkret: was ist f? Wenn es [m]x^2+3x+4[/m] ist, so habe ich [mm]-1\pm\sqrt{2}[/mm] als Lösungen (also -1, nicht 1). Und der Automorphismus macht genau das.
Allgemeiner: eine Körperiso vertauscht die Nullstellen eines Polynoms, es ist eine Permutation der Nullstellen. Wenn du den Zerf.körper eines Polynoms über einem Körper betrachtest, und dann die Galoisgruppe betrachtest, wird jedes nicht triviale dort drin eine nicht triviale Permutation der Nullstellen ergeben. Es besteht zwischen den möglichen Permutationen und der Gestalt der Gruppe an sich ein starker Zusammenhang, schau mal in Algebra-Bücher/Skripte. Hier ist es ganz einfach: zwei Nullstellen, eine nicht-trivialer Körper-iso - also werden die Nst. vertauscht.
SEcki
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