Galoisgruppe bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme die Galoisgruppe von [mm] f(x)=x^5+3x^3-3x^2-9 [/mm] über [mm] \IQ [/mm] |
Hallo!
Die Nullstellen von f= [mm] f(x)=x^5+3x^3-3x^2-9 =(x^3-3)(x^2+3) [/mm] sind [mm] M=\{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3}, i\wurzel{3}, -i\wurzel{3}\} [/mm] mit [mm] \omega=e^{\bruch{i2\pi}{3}}
[/mm]
Der Zerfällungskörper von f ist also [mm] L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3}, i\wurzel{3})
[/mm]
Es gilt also die Galoisgruppe [mm] Gal(L/\IQ) [/mm] zu bestimmen
Dazu habe ich mir folgendes überlegt: Für [mm] \phi \in Gal(L/\IQ) [/mm] gilt:
[mm] \phi(\wurzel[3]{3}) \in \{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3}\}
[/mm]
[mm] \phi(i\wurzel{3}) \in \{i\wurzel{3}, -i\wurzel{3}\}
[/mm]
[mm] \phi(\omega) \in \{\omega, \omega^2\}
[/mm]
[mm] \phi(i) \in \{i, -i\}
[/mm]
Dann habe ich noch folgende Überlegung gemacht:
[mm] \omega=e^{\bruch{i2\pi}{3}}=-0,5+0,5*i\wurzel{3}
[/mm]
also ist [mm] L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3}) [/mm] damit gilt: [mm] \IQ\subset\IQ(\omega)\subset [/mm] L und daraus folgt (Gradsatz, Nebenrechnung) [mm] |L:\IQ|=6 [/mm]
also weiß ich dass es in [mm] Gal(L/\IQ) [/mm] 6 Elemente gibt. Wie kann ich diese nun mit obigen Überlegungen systematisch bestimmen? Die Lösung der Aufgabe ist mir gar nicht so wichtig, ich würde das nämlich auch gern bei anderen Polynomen können.
freue mich über Hilfe
Grüße, kulli
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Sa 19.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimme die Galoisgruppe von [mm]f(x)=x^5+3x^3-3x^2-9[/mm] über
> [mm]\IQ[/mm]
>
> Die Nullstellen von f= [mm]f(x)=x^5+3x^3-3x^2-9 =(x^3-3)(x^2+3)[/mm]
> sind [mm]M=\{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3}, i\wurzel{3}, -i\wurzel{3}\}[/mm]
> mit [mm]\omega=e^{\bruch{i2\pi}{3}}[/mm]
>
> Der Zerfällungskörper von f ist also [mm]L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3}, i\wurzel{3})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es gilt also die Galoisgruppe [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] zu bestimmen
>
> Dazu habe ich mir folgendes überlegt: Für [mm]\phi \in Gal(L/\IQ)[/mm]
> gilt:
>
>
> [mm]\phi(\wurzel[3]{3}) \in \{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3}\}[/mm]
>
> [mm]\phi(i\wurzel{3}) \in \{i\wurzel{3}, -i\wurzel{3}\}[/mm]
>
> [mm]\phi(\omega) \in \{\omega, \omega^2\}[/mm]
> [mm]\phi(i) \in \{i, -i\}[/mm]
Allerdings liegt $i$ doch gar nicht in $L$?
> Dann habe ich noch folgende Überlegung gemacht:
>
> [mm]\omega=e^{\bruch{i2\pi}{3}}=-0,5+0,5*i\wurzel{3}[/mm]
> also ist [mm]L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3})[/mm] damit gilt:
> [mm]\IQ\subset\IQ(\omega)\subset[/mm] L und daraus folgt (Gradsatz,
> Nebenrechnung) [mm]|L:\IQ|=6[/mm]
> also weiß ich dass es in [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] 6 Elemente gibt. Wie
> kann ich diese nun mit obigen Überlegungen systematisch
> bestimmen? Die Lösung der Aufgabe ist mir gar nicht so
> wichtig, ich würde das nämlich auch gern bei anderen
> Polynomen können.
Nun, jeder $K$-Homomorphismus [mm] $K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ [/mm] in eine Koerpererweiterung von $K$ ist schon eindeutig durch die Bilder von [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ [/mm] bestimmt.
Da du hier $K = [mm] \IQ$, $\alpha_1 [/mm] = [mm] \sqrt[3]{3}$ [/mm] und [mm] $\alpha_2 [/mm] = [mm] \omega$ [/mm] hast, ist durch $f [mm] \mapsto (f(\alpha_1), f(\alpha_2))$ [/mm] bereits eine injektive Abbildung von [mm] $Gal(L/\IQ)$ [/mm] in die Menge [mm] $\{ \sqrt[3]{3}, \omega \sqrt[3]{3}, \omega^2 \sqrt[3]{3} \} \times \{ \omega, \omega^2 \}$ [/mm] gegeben. Da die Zielmenge genausoviele Elemente wie [mm] $Gal(L/\IQ)$ [/mm] hat, hast du also sogar eine Bijektion.
Damit hast du im Prinzip [mm] $Gal(L/\IQ)$ [/mm] bereits vollstaendig beschrieben!
(Falls du keine Bijektion haettest, muesstest du ueberlegen, welche der Permutationen aus [mm] $S_3 \times S_2$, [/mm] die den bijektiven Abbildungen der Zielmenge in sich selber entsprechen die ueberhaupt von Automorphismen kommen koennen, wirklich einem Automorphismus entspricht. Das ist im Allgemeinen gar nicht so einfach.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Moin!
>
> > Bestimme die Galoisgruppe von [mm]f(x)=x^5+3x^3-3x^2-9[/mm] über
> > [mm]\IQ[/mm]
> >
> > Die Nullstellen von f= [mm]f(x)=x^5+3x^3-3x^2-9 =(x^3-3)(x^2+3)[/mm]
> > sind [mm]M=\{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3}, i\wurzel{3}, -i\wurzel{3}\}[/mm]
> > mit [mm]\omega=e^{\bruch{i2\pi}{3}}[/mm]
> >
> > Der Zerfällungskörper von f ist also [mm]L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3}, i\wurzel{3})[/mm]
>
>
>
> > Es gilt also die Galoisgruppe [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] zu bestimmen
> >
> > Dazu habe ich mir folgendes überlegt: Für [mm]\phi \in Gal(L/\IQ)[/mm]
> > gilt:
> >
> >
> > [mm]\phi(\wurzel[3]{3}) \in \{\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3}\}[/mm]
>
> >
> > [mm]\phi(i\wurzel{3}) \in \{i\wurzel{3}, -i\wurzel{3}\}[/mm]
> >
> > [mm]\phi(\omega) \in \{\omega, \omega^2\}[/mm]
>
>
>
> > [mm]\phi(i) \in \{i, -i\}[/mm]
>
> Allerdings liegt [mm]i[/mm] doch gar nicht in [mm]L[/mm]?
>
> > Dann habe ich noch folgende Überlegung gemacht:
> >
> > [mm]\omega=e^{\bruch{i2\pi}{3}}=-0,5+0,5*i\wurzel{3}[/mm]
>
>
>
> > also ist [mm]L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3})[/mm] damit gilt:
> > [mm]\IQ\subset\IQ(\omega)\subset[/mm] L und daraus folgt (Gradsatz,
> > Nebenrechnung) [mm]|L:\IQ|=6[/mm]
>
>
>
> > also weiß ich dass es in [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] 6 Elemente gibt. Wie
> > kann ich diese nun mit obigen Überlegungen systematisch
> > bestimmen? Die Lösung der Aufgabe ist mir gar nicht so
> > wichtig, ich würde das nämlich auch gern bei anderen
> > Polynomen können.
>
> Nun, jeder [mm]K[/mm]-Homomorphismus [mm]K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)[/mm] in
> eine Koerpererweiterung von [mm]K[/mm] ist schon eindeutig durch die
> Bilder von [mm]\alpha_1, \dots, \alpha_n[/mm] bestimmt.
>
> Da du hier [mm]K = \IQ[/mm], [mm]\alpha_1 = \sqrt[3]{3}[/mm] und [mm]\alpha_2 = \omega[/mm]
> hast, ist durch [mm]f \mapsto (f(\alpha_1), f(\alpha_2))[/mm]
> bereits eine injektive Abbildung von [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] in die
> Menge [mm]\{ \sqrt[3]{3}, \omega \sqrt[3]{3}, \omega^2 \sqrt[3]{3} \} \times \{ \omega, \omega^2 \}[/mm]
> gegeben. Da die Zielmenge genausoviele Elemente wie
> [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] hat, hast du also sogar eine Bijektion.
>
> Damit hast du im Prinzip [mm]Gal(L/\IQ)[/mm] bereits vollstaendig
> beschrieben!
>
> (Falls du keine Bijektion haettest, muesstest du
> ueberlegen, welche der Permutationen aus [mm]S_3 \times S_2[/mm],
> die den bijektiven Abbildungen der Zielmenge in sich selber
> entsprechen die ueberhaupt von Automorphismen kommen
> koennen, wirklich einem Automorphismus entspricht. Das ist
> im Allgemeinen gar nicht so einfach.)
Danke, das ist eine schöne Erklärung. Das leuchtet mir bei dieser Galoisgruppe jetzt auch ein. Jedoch denke ich schon, dass wir die Elemente konkret angeben sollen. Ich habe mir dazu noch ein paar Gedanken gemacht. Ich kann die Elemente aus [mm] Gal(f)=Gal(L/\IQ) [/mm] doch so angeben:
Seien [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau \in [/mm] Gal(f) mit [mm] \sigma=(\wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3}) [/mm] und [mm] \tau=(\omega, \omega^2)
[/mm]
also ein dreier Zyklus und ein zweier Zyklus. Dann kann ich doch Gal(f) angeben und zwar [mm] Gal(f)=\{Id, \sigma, \sigma^2, \sigma\tau, \sigma^2\tau\}
[/mm]
Mir ist der Zusammenhang von der Isomorphie einer Galoisgruppe und
einer Untergruppe von [mm] S_n [/mm] noch nicht ganz klar. Hier sehe ich jetzt, dass Gal(f) isomorph zu der Untergruppe H von [mm] S_5 [/mm] ist, mit [mm] H=\{(1, 2, 3), (4,5)\} [/mm] oder?
Also wie ist das denn allgemein?
Hier konnte ich ja [mm] f(x)=x^5+3x^3-3x^2-9 [/mm] zerlegen in [mm] f(x)=(x^3-3)(x^2+3) [/mm]
das sind beides irreduzible Polynome und irgendwie haben die Nullstellen von dem ersten Faktor [mm] (x^3-3) [/mm] sprich [mm] \wurzel[3]{3}, \omega\wurzel[3]{3}, \omega^2\wurzel[3]{3} [/mm] ausgereicht, um die Galoisgruppe zu bestimmen. Lag es daran, dass diese schon ausgereicht haben, um den Zerfällungskörper [mm] L=\IQ(\omega, \wurzel[3]{3}) [/mm] anzugeben?
> LG Felix
>
|
|
|
| |
|
Ich muss mich korrigieren. Es gilt hier ja, dass Gal(f) mit f wie oben die selbe Galoisgruppe ist, wie die von g(x)=: [mm] x^3-3. [/mm] Das wurde oben ja bereits festgestellt. Ich habe noch einmal nachgeschaut und es gilt nach einem Satz, dass die Galoisgruppe eines irreduziblen Polynoms mit Grad n isomorph ist zu einer Untergruppe von [mm] S_n.
[/mm]
Da gilt: Gal(f)=Gal(g) und g irreduzibel ist über [mm] \IQ, [/mm] ist Gal(g) also isomorph zu einer Untergruppe von [mm] S_3. [/mm] So wie ich H angegeben habe, ist aber [mm] H=S_3 [/mm] oder nicht? Weil [mm] |H|=|S_n|=3!=6
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 So 03.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
