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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:48 Mi 13.06.2007 | | Autor: | HohesC |
Hallo!
Ich habe am Freitag einen Vortrag in meinem Algebra- Proseminar zu halten über Spur und Norm von Elementen aus Galoiserweiterungen. Das meiste habe ich verstanden, jedoch habe ich noch ein paar vereinzelte Fragen und hoffe, dass mir hier jemand weiterhelfen kann, diese zu verstehen.
1. Ganz allgemein zu Galoisgruppen: [mm]G = \left{ \eta_1, \eta_2, ... , \eta_n \right}[/mm] sei meine Galoisgruppe. Warum sind die [mm] \eta_i [/mm] linear unabhängig?
2. Wenn ich einen der Automorphismen auf alle anderen anwende, erhalte ich wieder genau alle [mm] \eta_i. [/mm] Warum? Liegt das daran, dass sie injektiv sind und aus z.B. [mm] \eta_1(\eta_2(u)) [/mm] = [mm] \eta_1(\eta_3(u)) [/mm] (für alle u) folgen würde, dass [mm] \eta_2(u) [/mm] = [mm] \eta_3(u) [/mm] für alle u gilt, was nicht sein kann, da ja alle Automorphismen der Gruppe verschieden sind?
3. Die nächste Frage bezieht sich auf einen Beweisschritt im Beweis eines Theorems. Es ist vielleicht etwas zu viel verlangt, dass sich jemand den ganzen Beweis klarmacht, aber ich poste trotzdem besser den kompletten Satz plus Beweis, da es so einfacher ist. Ich habe eigentlich nur mit einem bestimmten Schritt ein Problem. Ich denke, die Begründung liegt in der Aussage von (2.), da ich über alle [mm] \eta [/mm] das Produkt bilde und wenn ich dann ein [mm] \zeta [/mm] aus der Galoisgruppe auf alle [mm] \eta\in [/mm] G anwende, müssten doch wieder genau alle Automorphismen aus G herauskommen, weshalb ich das [mm] \zeta [/mm] auch weglassen kann, oder? Hier der Beweis:
Satz: E sei endlicher Galoiserweiterungskörper von F, G sei die Galoisgruppe. [mm] \eta \to u_{\eta} [/mm] sei eine Abbildung von G nach E*, für die folgende Gleichung erfüllt ist:
[mm]u_{\zeta \eta} = \zeta(u_{\eta})u_{\zeta}[/mm] für alle [mm]\eta, \zeta \in G.[/mm]
Dann gibt es ein [mm] v\in\E, v\ne [/mm] 0, so dass
[mm]u_{\eta} = v\cdot (\eta(v))^{-1}[/mm]
Beweis: Da [mm] u_\eta \ne [/mm] 0 und die [mm] \eta\in [/mm] G linear unabhängig über E, gibt es ein Element [mm] w\in [/mm] E, so dass
[mm]v = \sum_{\eta\in G} u_{\eta} \eta(w) \ne 0.[/mm]
Dann haben wir für ein [mm] \zeta\in [/mm] G:
[mm]\zeta(v) = \sum_{\eta} \zeta(u_{\eta})(\zeta\eta)(w) = \sum_{\eta} u_{\zeta\eta}u_{\zeta}^{-1}(\zeta\eta})(w)
= \left( \sum_{\eta} u_{\zeta\eta}(\zeta\eta})(w) \right)u_{\zeta}^{-1}[/mm]
Bis hierhin noch alles klar, jetzt der Schritt, bei dem ich mir nicht sicher bin:
[mm]= \left( \sum_{\eta} u_{\eta}\eta(w) \right) u_{\zeta}^{-1}[/mm]
Der Rest ist wieder klar:
[mm]= vu_{\zeta}^{-1}.[/mm]
4. Die vorerst letzte Frage bezieht sich auch wieder auf einen Beweis. Leider kann ich mit den n-ten Einheitswurzeln recht wenig anfangen, deshalb versteh ich die Argumentation nicht ganz. Wieder aber erstmal der komplette Satz und Beweis:
Satz: F enthalte die n-ten Einheitswurzeln. E/F sei n-dimensionale zyklische Erweiterung von F. [mm] \Rightarrow [/mm] E = F(u) wenn [mm] u^n\in [/mm] F.
Beweis: z sei primitive n-te Einheitswurzel. [mm] N_{E/F}(z) [/mm] = [mm] z^n [/mm] = 1 (Die Definition der Norm ist N(u) = [mm] \prod_{\eta\in G} \eta(u) [/mm] )
[mm] \Rightarrow [/mm] (gilt wegen eines vorher bewiesenen Satzes) Es existiert ein [mm] u\in [/mm] E: z = [mm] u\cdot(\eta(u))^{-1}, [/mm] wobei [mm] \eta [/mm] der Erzeuger der Galoisgruppe.
[mm]\Rightarrow \eta(u) = z^{-1}\cdot u[/mm] und [mm] \eta(u^n) [/mm] = [mm] \eta(u)^n [/mm] = [mm] (z^{-1}\cdot u)^n [/mm] = [mm] u^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow u^n\in [/mm] F (da [mm] \eta [/mm] ja genau die Elemente fest lässt, die aus F sind)
Hier kommt der Teil, den ich nicht verstehe:
[mm]\eta(u) = z^{-1}\cdot u \Rightarrow \eta^i(u) = z^{-i}\cdot u [/mm](unübersetzt, da ich es nicht wirklich verstehe:) "and shows that there are n-distinct elements in the orbit of u under Gal(E/F)." Daher hat das Minimalpolynom von u über F den Grad n und es gilt E = F(u).
Ähnlich wird auch im letzten Beweis argumentiert, wo steht "Then [mm] \eta^i(c) [/mm] = c + i and the orbit of c under Gal(E/F) contains p elements. Hence E = F(c)." Ich verstehe weder die Argumentation, noch was das bedeutet...
Ich hoffe, mir kann noch jemand helfen, v.a. bei der letzten Frage, da ich das wirklich elementar nicht verstehe. Bei den anderen Sachen hab ich ja schon eine ungefähre Ahnung, außer eben das mit der linearen Unabhängigkeit der [mm] \eta, [/mm] aber das ist wahrscheinlich recht einfach, nur ich seh es wieder nicht 
MfG,
Nadine
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=36328&page=2
(Vielmehr habe ich nur die ersten beiden Fragen gestellt, vor drei Tagen, und auch noch keine Antwort erhalten...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Do 14.06.2007 | | Autor: | HohesC |
Ich denke mal 2. und 3. stimmen so weit, aber kann mir vielleicht wenigstens jemand erklären, was "there are n-distinct elements in the orbit of u under Gal(E/F)" bedeutet und was das mit dem Minimalpolynom von u zu tun hat? Und warum folgt daraus E = F(u)? Jegliche Information oder auch nur Idee würde mir sehr weiterhelfen, da mein Vortrag schon morgen ist.
Falls außerdem noch jemand weiß, was es mit der linearen Unabhängigkeit der Automorphismen auf sich hat, wäre ich natürlich auch sehr dankbar... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 15.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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