Galoisgruppe Algebra < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 So 15.06.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
ich habe das Problem, dass ich zwar eine Galois-Gruppe einer Körpererweiterung kenne, aber nicht weiß was eine Galois-Gruppe einer Algebra ist.
Vielleicht habe ich das auch alles nur falsch verstanden.
Ich will auf jeden Fall den folgenden Satz beweisen:
"Jede endliche Gruppe von Automorphismen einer freien assoziativen Algebra ist eine Galois-Gruppe."
Was natürlich schwer zu beweisen ist, wenn man nicht versteht was damit gemeint ist  .
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
Schöne Grüße Anna.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Mo 16.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> ich habe das Problem, dass ich zwar eine Galois-Gruppe
> einer Körpererweiterung kenne, aber nicht weiß was eine
> Galois-Gruppe einer Algebra ist.
Ich glaube, darum geht es im Folgenden auch gar nicht.
> Vielleicht habe ich das auch alles nur falsch verstanden.
>
> Ich will auf jeden Fall den folgenden Satz beweisen:
>
> "Jede endliche Gruppe von Automorphismen einer freien
> assoziativen Algebra ist eine Galois-Gruppe."
>
> Was natürlich schwer zu beweisen ist, wenn man nicht
> versteht was damit gemeint ist .
Ich vermute, folgendes ist gemeint:
Du hast eine freie assoziative Algebra $A$ und eine Teilmenge $G$ der Automorphismen von $A$, die endlich ist und eine Gruppe bildet (sprich, unter der Multiplikation abgeschlossen ist). Dann gibt es eine galoissche Koerpererweiterung $L/K$ so, dass deren Galoisgruppe $Gal(L/K)$ isomorph zu $G$ ist.
Ein kleiner Hinweis dazu: wie sieht denn eine freie assoziative Algebra aus (das Thema hatten wir ja schonmal!) und wie sehen die Automorphismen davon aus?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Mo 16.06.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hallo Felix,
> > Ich will auf jeden Fall den folgenden Satz beweisen:
> >
> > "Jede endliche Gruppe von Automorphismen einer freien
> > assoziativen Algebra ist eine Galois-Gruppe."
> >
> > Was natürlich schwer zu beweisen ist, wenn man nicht
> > versteht was damit gemeint ist .
>
> Ich vermute, folgendes ist gemeint:
>
> Du hast eine freie assoziative Algebra [mm]A[/mm] und eine Teilmenge
> [mm]G[/mm] der Automorphismen von [mm]A[/mm], die endlich ist und eine Gruppe
> bildet (sprich, unter der Multiplikation abgeschlossen
> ist). Dann gibt es eine galoissche Koerpererweiterung [mm]L/K[/mm]
> so, dass deren Galoisgruppe [mm]Gal(L/K)[/mm] isomorph zu [mm]G[/mm] ist.
>
> Ein kleiner Hinweis dazu: wie sieht denn eine freie
> assoziative Algebra aus (das Thema hatten wir ja schonmal!)
> und wie sehen die Automorphismen davon aus?
>
Irgendwie verstehe ich das noch nicht so ganz...
Eine freie assoziative Algebra ist ja isomorph zu T(V) für einen K-Vektorraum V.
Sei nun [mm] {v_{1}, ... , v_{n}} [/mm] eine Vektorraum-Basis von V und somit auch Algebra-Basis von T(V), dann ist jeder Automorphismus [mm] \sigma: [/mm] T(V) [mm] \to [/mm] T(V) bestimmt durch die Permutationen der Basiselemente, also [mm] \sigma(v_{i})=v_{j} [/mm] und außerdem [mm] \sigma|_{K}=id.
[/mm]
Seien nun weiterhin [mm] \alpha_{1}, [/mm] ..., [mm] \alpha_{n} [/mm] algebraisch über K und Nullstellen eines seperablen Polynoms f. Sei L der Zerfällungskörper von f, dann ist jedes [mm] \mu \in [/mm] Gal(L/K) durch die Permutation der [mm] \alpha_{i} [/mm] bestimmt, also [mm] \mu (\alpha_{i}) [/mm] = [mm] \alpha_{j} [/mm] und außerdem [mm] \mu|_{K}=id.
[/mm]
Damit ist also [mm] Aut(T(V))\cong [/mm] Gal(L/K).
Irgendwas passt hier doch noch nicht so ganz. Bin ich denn schon ungefähr auf dem richtigen Weg oder ist das alles Quatsch?
Bitte hilf mir noch einmal.
Liebe Grüße Anna.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Di 17.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna,
> > Ein kleiner Hinweis dazu: wie sieht denn eine freie
> > assoziative Algebra aus (das Thema hatten wir ja schonmal!)
> > und wie sehen die Automorphismen davon aus?
>
> Irgendwie verstehe ich das noch nicht so ganz...
> Eine freie assoziative Algebra ist ja isomorph zu T(V) für
> einen K-Vektorraum V.
> Sei nun [mm]{v_{1}, ... , v_{n}}[/mm] eine Vektorraum-Basis von V
> und somit auch Algebra-Basis von T(V), dann ist jeder
> Automorphismus [mm]\sigma:[/mm] T(V) [mm]\to[/mm] T(V) bestimmt durch die
> Permutationen der Basiselemente, also [mm]\sigma(v_{i})=v_{j}[/mm]
> und außerdem [mm]\sigma|_{K}=id.[/mm]
Das stimmt nicht ganz: es muss nicht [mm] $\sigma(v_i) [/mm] = [mm] v_j$ [/mm] sein fuer ein $j$, allerdings muss [mm] $\sigma(v_i)$ [/mm] eine nicht-triviale Linearkombination von [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] sein. Oder anders gesagt: [mm] $\sigma|_V$ [/mm] ergibt einen Vektorraumendomorphismus von $V$, bzw. sogar ein Vektorraumautomorphismus! Und durch diese Einschraenkung ist [mm] $\sigma$ [/mm] eindeutig bestimmt. Umgekehrt induziert jeder Vektorraumautomorphismus von $V$ einen $K$-Algebraautomorphismus von $T(V)$.
Anders gesagt: die Gruppe aller $K$-Algebraautomorphismen von $T(V)$ ist isomorph zu $Gl(V)$, und eine endliche Gruppe von solchen Automorphismen ist isomorph zu einer endlichen Untergruppe von $Gl(V)$.
Vielleicht weisst du etwas ueber solche Untergruppen und wann sie Galois-Gruppen sind? (*)
> Seien nun weiterhin [mm]\alpha_{1},[/mm] ..., [mm]\alpha_{n}[/mm]
> algebraisch über K und Nullstellen eines seperablen
> Polynoms f. Sei L der Zerfällungskörper von f, dann ist
> jedes [mm]\mu \in[/mm] Gal(L/K) durch die Permutation der [mm]\alpha_{i}[/mm]
> bestimmt, also [mm]\mu (\alpha_{i})[/mm] = [mm]\alpha_{j}[/mm] und außerdem
> [mm]\mu|_{K}=id.[/mm]
Ja, allerdings nicht jede solche Permutation kann auftreten.
> Damit ist also [mm]Aut(T(V))\cong[/mm] Gal(L/K).
Nein. Einmal schon deswegen nicht weil $Aut(T(V)) [mm] \cong [/mm] Gl(V)$ zu gross ist, aber dann auch weil das Argument nicht funktionieren kann, da $Aut(T(V))$ ja nicht das ist was du oben vermutet hast.
Ich hoffe das hilft dir etwas weiter. Wie es genau weitergeht weiss ich auch nicht, ich vermute/hoffe mal dass (*) weiterhilft...
Liebe Gruesse
Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Di 17.06.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hi Felix,
ich habe den Satz jetzt noch in einer ausführlicheren Ausführung gefunden:
"Jede endlich Gruppe von Automorphismen einer freien assoziativen Algebra ist eine Galoisgruppe, d.h. die Gruppe aller Automorphismen von K<X> über der Algebra der Invarianten"
Hier ist die Algebra der Invarianten für eine Gruppe H von Automorphismen von K<X> definiert durch: I(H)={f [mm] \in F|f^{h}=f \forall h\in [/mm] H}.
Ich verstehe das noch nicht so ganz, ich muss doch jetzt zeigen:
Ist G eine endliche Gruppe von Automorphismen von T(V), so gilt für alle [mm] \sigma \in [/mm] G, dass [mm] \sigma|_{T(V)^{G}}=id. [/mm]
Oder ? Ich bin gerade total durcheinander...
Aber [mm] T(V)^{G} [/mm] ist doch gerade so definiert, dass jeder Automorphismus von T(V) eingeschränkt auf [mm] T(V)^{G} [/mm] die Identität ist, oder nicht?
Dann bräuchte ich also gar nichts mehr zeigen oder sehe ich das falsch?
Bitte, bitte hilf mir. Ich bin verwirrt.
Liebe Grüße Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 17.06.2008 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Anna
> ich habe den Satz jetzt noch in einer ausführlicheren
> Ausführung gefunden:
>
> "Jede endlich Gruppe von Automorphismen einer freien
> assoziativen Algebra ist eine Galoisgruppe, d.h. die Gruppe
> aller Automorphismen von K<X> über der Algebra der
> Invarianten"
>
> Hier ist die Algebra der Invarianten für eine Gruppe H von
> Automorphismen von K<X> definiert durch: I(H)={f [mm]\in F|f^{h}=f \forall h\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> H}.
>
> Ich verstehe das noch nicht so ganz, ich muss doch jetzt
> zeigen:
> Ist G eine endliche Gruppe von Automorphismen von T(V), so
> gilt für alle [mm]\sigma \in[/mm] G, dass [mm]\sigma|_{T(V)^{G}}=id.[/mm]
> Oder ? Ich bin gerade total durcheinander...
Nein. Du musst zeigen, dass die Automorphismen von $T(V)$, die [mm] $T(V)^H$ [/mm] festhalten, gerade die Automorphismen in $H$ sind. Also es reicht zu zeigen, dass es keine weiteren gibt, da die aus $H$ das natuerlich tun :)
Vermutlich ist mit der `Galoisgruppe' dann die relative Automorphismengruppe von $T(V)$ ueber [mm] $T(V)^G$ [/mm] gemeint, also die Gruppe der Automorphismen von $T(V)$, die [mm] $T(V)^G$ [/mm] festhalten.
Ein aehnliches Resultat gilt ja auch in der Galoistheorie: ist $L/K$ eine galoissche Koerpererweiterung und ist $H$ eine Untergruppe der Galoisgruppe und [mm] $L^H [/mm] = [mm] \{ x \in L \mid \varphi(x) = x \text{ fuer alle } \varphi \in H \}$ [/mm] der Fixkoerper von $H$, so ist $L / [mm] L^H$ [/mm] ebenfalls eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $H$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mi 18.06.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hi Felix,
>
> > ich habe den Satz jetzt noch in einer ausführlicheren
> > Ausführung gefunden:
> >
> > "Jede endlich Gruppe von Automorphismen einer freien
> > assoziativen Algebra ist eine Galoisgruppe, d.h. die Gruppe
> > aller Automorphismen von K<X> über der Algebra der
> > Invarianten"
> >
> > Hier ist die Algebra der Invarianten für eine Gruppe H von
> > Automorphismen von K<X> definiert durch: I(H)= { f [mm] \in F|f^{h}=f \forall h\in [/mm] H }
> >
> > Ich verstehe das noch nicht so ganz, ich muss doch jetzt
> > zeigen:
> > Ist G eine endliche Gruppe von Automorphismen von T(V), so
> > gilt für alle [mm]\sigma \in[/mm] G, dass [mm]\sigma|_{T(V)^{G}}=id.[/mm]
> > Oder ? Ich bin gerade total durcheinander...
>
> Nein. Du musst zeigen, dass die Automorphismen von [mm]T(V)[/mm],
> die [mm]T(V)^H[/mm] festhalten, gerade die Automorphismen in [mm]H[/mm] sind.
> Also es reicht zu zeigen, dass es keine weiteren gibt, da
> die aus [mm]H[/mm] das natuerlich tun :)
Das hört sich ja zunächst nicht so schwer an...
Ich habe aber leider keine Idee, wie ich da ran gehen soll....
Ich habe jetzt eine ganze Weile rumprobiert und mein einziges "Zwischenergebnis", dass ich erhalten habe ist, dass ich zeigen muss, dass für jede Gruppe [mm] G\supsetneq [/mm] H gerade [mm] T(V)^{G} [/mm] eine echte Teilmenge (bzw. eine Unteralgebra ) von [mm] T(V)^{H} [/mm] ist. Das bringt mich aber auch nicht weiter.
Hast Du vielleicht noch irgendeine Idee?
>
> Vermutlich ist mit der 'Galoisgruppe' dann die relative
> Automorphismengruppe von [mm]T(V)[/mm] ueber [mm]T(V)^G[/mm] gemeint, also
> die Gruppe der Automorphismen von [mm]T(V)[/mm], die [mm]T(V)^G[/mm]
> festhalten.
>
> Ein aehnliches Resultat gilt ja auch in der Galoistheorie:
> ist [mm]L/K[/mm] eine galoissche Koerpererweiterung und ist [mm]H[/mm] eine
> Untergruppe der Galoisgruppe und [mm]L^H = \{ x \in L \mid \varphi(x) = x \text{ fuer alle } \varphi \in H \}[/mm]
> der Fixkoerper von [mm]H[/mm], so ist [mm]L / L^H[/mm] ebenfalls eine
> Galoiserweiterung mit Galoisgruppe [mm]H[/mm].
>
Ja, das kenne ich auch und das sieht ja wirklich genauso aus. Aber das Problem ist ja, dass ich hier ja noch gar keine Galoisgruppe habe, oder kann ich das irgendwie umgehen?
Liebe Grüße Anna.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Mi 18.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> > > "Jede endlich Gruppe von Automorphismen einer freien
> > > assoziativen Algebra ist eine Galoisgruppe, d.h. die Gruppe
> > > aller Automorphismen von K<X> über der Algebra der
> > > Invarianten"
> > >
> > > Hier ist die Algebra der Invarianten für eine Gruppe H von
> > > Automorphismen von K<X> definiert durch:
> > > [mm]I(H)= \{ f \in F|f^{h}=f \forall h\in H \}[/mm]
> > >
> > > Ich verstehe das noch nicht so ganz, ich muss doch jetzt
> > > zeigen:
> > > Ist G eine endliche Gruppe von Automorphismen von
> T(V), so
> > > gilt für alle [mm]\sigma \in[/mm] G, dass [mm]\sigma|_{T(V)^{G}}=id.[/mm]
> > > Oder ? Ich bin gerade total durcheinander...
> >
> > Nein. Du musst zeigen, dass die Automorphismen von [mm]T(V)[/mm],
> > die [mm]T(V)^H[/mm] festhalten, gerade die Automorphismen in [mm]H[/mm] sind.
> > Also es reicht zu zeigen, dass es keine weiteren gibt, da
> > die aus [mm]H[/mm] das natuerlich tun :)
>
> Das hört sich ja zunächst nicht so schwer an...
Der Teufel liegt wie immer im Detail
> Ich habe aber leider keine Idee, wie ich da ran gehen
> soll....
> Ich habe jetzt eine ganze Weile rumprobiert und mein
> einziges "Zwischenergebnis", dass ich erhalten habe ist,
> dass ich zeigen muss, dass für jede Gruppe [mm]G\supsetneq[/mm] H
> gerade [mm]T(V)^{G}[/mm] eine echte Teilmenge (bzw. eine
> Unteralgebra ) von [mm]T(V)^{H}[/mm] ist. Das bringt mich aber auch
> nicht weiter.
Jep.
> Hast Du vielleicht noch irgendeine Idee?
Wir hatten ja schonmal eine Diskussion ueber freie Tensoralgebren und da ging es u.a. darueber, dass [mm] $T(V)^H$ [/mm] frei ist ueber einem UVR $W$ mit $W = [mm] \bigoplus W_i$, [/mm] wobei [mm] $W_i \subseteq V^{\otimes i}$ [/mm] ein Untervektorraum ist. Dass ein Automorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] von $T(V)$ die Unteralgebra [mm] $T(V)^H$ [/mm] festhaelt, ist nun aequivalent dazu, dass [mm] $\varphi|_W [/mm] = [mm] id_W$ [/mm] ist.
Jetzt waere es wichtig, etwas mehr ueber $W$ bzw. die [mm] $W_i$ [/mm] zu wissen. Hast du da irgendwelche Aussagen?
Es sollte z.B. (ich 'rate' mal, und hab keinen Schimmer ob das stimmt oder nicht) zu jedem $v [mm] \in [/mm] V$ ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] geben mit $v [mm] \otimes \dots \otimes [/mm] v [mm] \in W_n$ [/mm] (vorne steht das $n$-fache Tensorprodukt von $v$ mit sich selber). Oder zumindest sollte es eine Basis von $V$ geben, so dass fuer jedes Basiselement diese Aussage erfuellt ist. [Ob das weiterhilft oder stimmt weiss ich nicht; allerdings hab ich eine grobe Idee wie man ein Gegenbeispiel zum Satz finden kann wenn dies nicht gilt. Da es nur eine grobe Idee ist kann es aber sein dass sie einen Haken hat den ich noch nicht gesehen hab :) ]
Ich vermute mal du brauchst fuer diesen Satz einiges Wissen a) ueber die endlichen Untergruppen von $Gl(V)$ und b) ueber $W$.
> > Ein aehnliches Resultat gilt ja auch in der Galoistheorie:
> > ist [mm]L/K[/mm] eine galoissche Koerpererweiterung und ist [mm]H[/mm] eine
> > Untergruppe der Galoisgruppe und [mm]L^H = \{ x \in L \mid \varphi(x) = x \text{ fuer alle } \varphi \in H \}[/mm]
> > der Fixkoerper von [mm]H[/mm], so ist [mm]L / L^H[/mm] ebenfalls eine
> > Galoiserweiterung mit Galoisgruppe [mm]H[/mm].
>
> Ja, das kenne ich auch und das sieht ja wirklich genauso
> aus. Aber das Problem ist ja, dass ich hier ja noch gar
> keine Galoisgruppe habe, oder kann ich das irgendwie
> umgehen?
Direkt nicht. Eventuell lassen sich gewisse Aussagen oder Beweisideen aus der Galoistheorie uebertragen, ob das fuer dieses spezielle Ergebnis gilt weiss ich nicht.
LG Felix
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