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| Aufgabe | | Bestimme die Galoisgruppe von [mm] L=\IQ(e^{\bruch{i2\pi}{5}}). [/mm] |
Hallo! Als ich dachte dass ich fertig bin, ist mir noch eine Frage aufgekommen.
Zunächst hatte ich raus:
Das Minimalpolynom von [mm] \omega=e^\bruch{i2\pi}{5} [/mm] ist f(x)= [mm] x^4+x^3+x^2+x+1 [/mm] und damit ist [mm] [L:\IQ]=|Gal(f)|=4. [/mm] Die Nullstellen von f sind [mm] \{\omega, \omega^2,\omega^3,\omega^4\}
[/mm]
Da Gal(f) ja transitiv auf den Nullstellen von f operiert, gibt es ein [mm] \sigma \in \Gal(f) [/mm] mit [mm] \sigma(\omega)=\omega^2 [/mm] und dadurch sind alle weiteren bilder schon klar:
[mm] \sigma(\omega)=\omega^2
[/mm]
[mm] \sigma(\omega^2)=\sigma(\omega)^2=(\omega^2)^2=\omega^4
[/mm]
[mm] \sigma(\omega^3)=\sigma(\omega)^3=(\omega^2)^3=\omega^6=\omega
[/mm]
[mm] \sigma(\omega^4)=(\sigma(\omega)^4=(\omega^2)^4=\omega^8=\omega^3
[/mm]
Also kann man [mm] \sigma [/mm] als 4- Zyklus schreiben: [mm] \sigma=(\omega, \omega^2,\omega^4, \omega^3)
[/mm]
Da [mm] ord(\sigma)=4 [/mm] sollte doch dann wegen |Gal(f)|=4 gelten: [mm] Gal(f)=\{Id,\sigma, \sigma^2,\sigma^3\}
[/mm]
Jetzt die Frage:
Was ist mit der komplexen Konjugation? Müsste die nicht auch ein Element aus Gal(f) sein? Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kann es kein Produkt von [mm] \sigma [/mm] sein. Einerseits hat Gal(f) nur 4 Elemente und diese 4, die ich aufgelistet habe, müssen auf jeden Fall in der Galoisgruppe sein. Andererseits ist die komplexe Konjugation doch auch auf jeden Fall auch ein Element aus Gal(f).
Hoffentlich kann das jmd aufklären!
Grüße, kullinarisch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Di 29.01.2013 | | Autor: | hippias |
Einer Deiner Automorphismen ist die Einschraenkung der Konjugation auf $L$.
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Ok. Dann bin ich beruhigt, danke!
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