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Galoisgruppe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Do 23.01.2014
Autor: Topologe

Aufgabe
Sei [mm] K=\IQ(\wurzel[3]{5}). [/mm]
Bestimmen Sie die Galoisgruppe von K über [mm] \IQ. [/mm]

Hallo,

könnte man das in etwa so beantworten?

Minimalpolynom von [mm] \alpha=\wurzel[3]{5} [/mm] ist  m(x) = [mm] x^{3}-5, [/mm] da normiert und es gilt [mm] m(\alpha)=0 [/mm] und irreduzibel nach Eisenstein mit p=5

Also [mm] G=\{id\} [/mm]

Der Automorphismus [mm] \varphi(\wurzel[3]{5})=-\wurzel[3]{5} [/mm] kommt nicht in Frage, da dies keine Nullstelle des Minimalpolynoms ist.

Wäre das so in etwa ok?

LG,
Topologe

        
Bezug
Galoisgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Do 23.01.2014
Autor: hippias


> Sei [mm]K=\IQ(\wurzel[3]{5}).[/mm]
>  Bestimmen Sie die Galoisgruppe von K über [mm]\IQ.[/mm]
>  Hallo,
>
> könnte man das in etwa so beantworten?
>  
> Minimalpolynom von [mm]\alpha=\wurzel[3]{5}[/mm] ist  m(x) =
> [mm]x^{3}-5,[/mm] da normiert und es gilt [mm]m(\alpha)=0[/mm] und
> irreduzibel nach Eisenstein mit p=5
>  
> Also [mm]G=\{id\}[/mm]

Verstehe ich nicht: Aus der Irreduzibilitaet folgt doch nicht, dass [mm] $G=\{id\}$; [/mm] eigentlich besagt das gar nichts ueber $G$.

>  
> Der Automorphismus [mm]\varphi(\wurzel[3]{5})=-\wurzel[3]{5}[/mm]
> kommt nicht in Frage, da dies keine Nullstelle des
> Minimalpolynoms ist.

Damit waere gezeigt, dass es keinen Automorphismus gibt, der [mm] $\wurzel[3]{5}$ [/mm] auf [mm] $-\wurzel[3]{5}$ [/mm] abbildet.

Richtig ist ja, das Nullstellen auf Nullstellen abgebildet werden muessen. Um das richtig anzuwenden solltest Du Dir ersteinmal ueberlegen, welche Nullstellen $m$ hat (z.B. in [mm] $\IC$). [/mm] Dann kannst Du Dein Argument anwenden.

>  
> Wäre das so in etwa ok?
>  
> LG,
>  Topologe


Bezug
                
Bezug
Galoisgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Fr 24.01.2014
Autor: Topologe

Hey, danke für die Antwort!

Ok, die Nullstellen von [mm] m(x)=x^{3}-5 [/mm] sind: [mm] \wurzel[3]{5}, -i\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{-1}^{2}\wurzel[3]{5}. [/mm]

Ich habe das Konzept von der Galoisgruppe so verstanden, dass der Automorphismus entweder die Identität ist oder das die Abbildung von einer Nullstelle [mm] \alpha [/mm] auf [mm] -\alpha [/mm] abgebildet werden muss. Ist dem so?
Oder werden einfach nur generell Nullstellen auf Nullstellen abgebildet?

LG,
Topologe

Bezug
                        
Bezug
Galoisgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Sa 25.01.2014
Autor: hippias


> Hey, danke für die Antwort!
>  
> Ok, die Nullstellen von [mm]m(x)=x^{3}-5[/mm] sind: [mm]\wurzel[3]{5}, -i\wurzel[3]{5}, \wurzel[3]{-1}^{2}\wurzel[3]{5}.[/mm]
>  
> Ich habe das Konzept von der Galoisgruppe so verstanden,
> dass der Automorphismus entweder die Identität ist oder
> das die Abbildung von einer Nullstelle [mm]\alpha[/mm] auf [mm]-\alpha[/mm]
> abgebildet werden muss. Ist dem so?
>  Oder werden einfach nur generell Nullstellen auf
> Nullstellen abgebildet?

Mache Dir klar: Sei $E/K$ eine Koerpererweiterung und [mm] $\alpha\in [/mm] E$. Ist $f$ eine Polynom ueber $K$ mit [mm] $f(\alpha)=0$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] ein $K$-Automorphismus von $E$, so gilt auch [mm] $f(\alpha^{\sigma})=0$. [/mm]

>  
> LG,
>  Topologe


Bezug
                                
Bezug
Galoisgruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 So 26.01.2014
Autor: Topologe

Hm,

also wäre der Automorphismus folgender?

Alle Elemente des Körpers [mm] \IQ [/mm] werden festgehalten. Und die Nullstellen des Polynoms [mm] x^{3}-5 [/mm] permutieren. Also 3! verschiedene Automorphismen?

LG,
Topologe

Bezug
                                        
Bezug
Galoisgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 So 26.01.2014
Autor: hippias


> Hm,
>  
> also wäre der Automorphismus folgender?

Diese Frage verstehe ich nicht.

>  
> Alle Elemente des Körpers [mm]\IQ[/mm] werden festgehalten. Und die
> Nullstellen des Polynoms [mm]x^{3}-5[/mm] permutieren.

Ja, das ist es im wesentlichen was ein  solcher Koerperautomorphismus macht.

> Also 3!
> verschiedene Automorphismen?

Nein, nicht jede Permutation induziert einen Koerperautomorphismus. Warum ist z.B. die Abbildung mit [mm] $\sqrt[3]{5}\mapsto \zeta \sqrt[3]{5}$ ($\zeta$ [/mm] $3$-te Einheitswurzel) kein Automorphismus von [mm] $\IQ[\sqrt[3]{5}]$? [/mm]

>  
> LG,
>  Topologe


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