Galoiserweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Sa 19.05.2007 | | Autor: | PaulP |
| Aufgabe | Sie K ein Körper mit char(K)=0. Weiterhin sei f(x) [mm] \in [/mm] K[x] ein Polynom mit Grad [mm] \ge [/mm] 1. f zerfalle in einem Erweiterungskörper E von K in der Form [mm] f(x)=c(x-\alpha_1)^a_1 \cdots (x-\alpha_n)^a_n [/mm] mit c [mm] \in [/mm] K, [mm] a_i \in \IN [/mm] i=1,...,n mit [mm] \alpha_i \not= \alpha_j [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j .
zu zeigen:
a) [mm] K[\alpha_1,...,\alpha_n] [/mm] ist eine Galoiserweiterung von K
b) (x- [mm] \alpha_1) \cdots [/mm] (x- [mm] \alpha_n) \in [/mm] K |
Hallo!
Wie mache ich das? Das ist doch keine Radikalerweiterung?!
Ich habe den Eindruck, dass das sehr einfach ist, ich es jedoch nicht sehe.
Wie bekomme ich den Zerfällungskörper so hingebastelt, dass er separabel ist?
Oder liege ich insgesamt völlig daneben??
Danke,
Paul
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Paul!
> Sie K ein Körper mit char(K)=0. Weiterhin sei f(x) [mm]\in[/mm] K[x]
> ein Polynom mit Grad [mm]\ge[/mm] 1. f zerfalle in einem
> Erweiterungskörper E von K in der Form
> [mm]f(x)=c(x-\alpha_1)^a_1 \cdots (x-\alpha_n)^a_n[/mm] mit c [mm]\in[/mm]
> K, [mm]a_i \in \IN[/mm] i=1,...,n mit [mm]\alpha_i \not= \alpha_j[/mm] für i
> [mm]\not=[/mm] j .
>
> zu zeigen:
> a) [mm]K[\alpha_1,...,\alpha_n][/mm] ist eine Galoiserweiterung von
> K
> b) (x- [mm]\alpha_1) \cdots[/mm] (x- [mm]\alpha_n) \in[/mm] K
>
> Hallo!
>
> Wie mache ich das? Das ist doch keine Radikalerweiterung?!
Was haben Radikalerweiterung mit Galoiserweiterungen zu tun? Es gibt auch Galoiserweiterungen, die keine Radikalerweiterungen sind!
> Ich habe den Eindruck, dass das sehr einfach ist, ich es
> jedoch nicht sehe.
> Wie bekomme ich den Zerfällungskörper so hingebastelt,
> dass er separabel ist?
In Charakteristik 0 ist jede Koerpererweiterung separabel. Eventuell musst du das noch zeigen; dazu: ist $K$ ein Koerper und $f [mm] \in [/mm] K[x]$ irreduzibel, so ist $ggT(f, f') = 1$, da $f$ irreduzibel ist und [mm] $\deg [/mm] f' = [mm] \deg [/mm] f - 1$ ist (hierfuer brauchst du Charakteristik 0). Daraus folgt, dass $f$ nur einfache Nullstellen hat (wenn du nicht weisst warum, nimm doch mal an, dass in einem Erweiterungskoerper $L$ von $K$ gilt $f = (x - [mm] a)^2 \cdot [/mm] g$ fuer $a [mm] \in [/mm] L$ und $g [mm] \in [/mm] L[x]$; wie sieht dann $f'$ aus?).
Du musst also nur noch zeigen, dass die Erweiterung hier normal ist, und da sie endlich ist, reicht es also zu zeigen, dass sie ein Zerfaellungskoerper ist.
Und fuer (b) wendest du einen beliebigen Automorphismus von [mm] $K[\alpha_1, \dots, \alpha_n]$ [/mm] ueber $K$ auf das Polynom an; was kommt heraus?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 So 20.05.2007 | | Autor: | PaulP |
> Hallo Paul!
>
> > Sie K ein Körper mit char(K)=0. Weiterhin sei f(x) [mm]\in[/mm] K[x]
> > ein Polynom mit Grad [mm]\ge[/mm] 1. f zerfalle in einem
> > Erweiterungskörper E von K in der Form
> > [mm]f(x)=c(x-\alpha_1)^a_1 \cdots (x-\alpha_n)^a_n[/mm] mit c [mm]\in[/mm]
> > K, [mm]a_i \in \IN[/mm] i=1,...,n mit [mm]\alpha_i \not= \alpha_j[/mm] für
> i
> > [mm]\not=[/mm] j .
> >
> > zu zeigen:
> > a) [mm]K[\alpha_1,...,\alpha_n][/mm] ist eine Galoiserweiterung
> von
> > K
> > b) (x- [mm]\alpha_1) \cdots[/mm] (x- [mm]\alpha_n) \in[/mm] K
> >
> > Hallo!
> >
> > Wie mache ich das? Das ist doch keine Radikalerweiterung?!
>
> Was haben Radikalerweiterung mit Galoiserweiterungen zu
> tun? Es gibt auch Galoiserweiterungen, die keine
> Radikalerweiterungen sind!
>
> > Ich habe den Eindruck, dass das sehr einfach ist, ich es
> > jedoch nicht sehe.
> > Wie bekomme ich den Zerfällungskörper so hingebastelt,
> > dass er separabel ist?
>
> In Charakteristik 0 ist jede Koerpererweiterung separabel.
> Eventuell musst du das noch zeigen; dazu: ist [mm]K[/mm] ein Koerper
> und [mm]f \in K[x][/mm] irreduzibel, so ist [mm]ggT(f, f') = 1[/mm], da [mm]f[/mm]
> irreduzibel ist und [mm]\deg f' = \deg f - 1[/mm] ist (hierfuer
> brauchst du Charakteristik 0). Daraus folgt, dass [mm]f[/mm] nur
> einfache Nullstellen hat (wenn du nicht weisst warum, nimm
> doch mal an, dass in einem Erweiterungskoerper [mm]L[/mm] von [mm]K[/mm] gilt
> [mm]f = (x - a)^2 \cdot g[/mm] fuer [mm]a \in L[/mm] und [mm]g \in L[x][/mm]; wie
> sieht dann [mm]f'[/mm] aus?).
>
> Du musst also nur noch zeigen, dass die Erweiterung hier
> normal ist, und da sie endlich ist, reicht es also zu
> zeigen, dass sie ein Zerfaellungskoerper ist.
>
> Und fuer (b) wendest du einen beliebigen Automorphismus von
> [mm]K[\alpha_1, \dots, \alpha_n][/mm] ueber [mm]K[/mm] auf das Polynom an;
> was kommt heraus?
>
> LG Felix
>
Danke!
Bzgl. [mm] f(x)=c(x-\alpha_1)^{a_1} \cdots (x-\alpha_n)^{a_n} [/mm] habe ich aber noch eine Frage: Warum kann ich die Nullstellen als einfache Nullstellen betrachten? Da stehe ich irgendwie auf dem Schlauch...
Gruß,
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Paul!
> Bzgl. [mm]f(x)=c(x-\alpha_1)^{a_1} \cdots (x-\alpha_n)^{a_n}[/mm]
> habe ich aber noch eine Frage: Warum kann ich die
> Nullstellen als einfache Nullstellen betrachten? Da stehe
> ich irgendwie auf dem Schlauch...
Warum willst du sie als einfache Nullstellen betrachten? Ich versteh nicht was du meinst...
Oder meinst du das Polynom aus b)? Was ist im Allgemeinen nicht gleich $f$, sondern nur ein Teiler von $f$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:00 So 20.05.2007 | | Autor: | PaulP |
Oh, mein Fehler, habe mich verlesen. Jetzt habe ich es verstanden.
Danke!
|
|
|
|
