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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mo 06.07.2009 | | Autor: | oby |
Hallo alle zusammen!
Hab mir eben schon den Wikipedia Eintrag über Galoistheorie angeschaut, leider versteh ich das aber nicht so ganz. Ich habs mal hierher kopiert:
Dies zum Beispiel:
>Die Galoisgruppe des Polynoms f= $ [mm] (x^2 [/mm] $ − $ [mm] 5)^2 [/mm] $ − 24 soll über dem Körper >der rationalen Zahlen bestimmt werden. Damit sind bei den >algebraischen Gleichungen, welche von den Nullstellen erfüllt werden, >nur rationale Zahlen als Koeffizienten erlaubt.
>
>Die Nullstellen des Polynoms sind
>
> a = $ [mm] \sqrt{2} [/mm] $ + $ [mm] \sqrt{3}, [/mm] $
> b = $ [mm] \sqrt{2} [/mm] $ - $ [mm] \sqrt{3}, [/mm] $
> c = $ [mm] -\sqrt{2} [/mm] $ + $ [mm] \sqrt{3}, [/mm] $
> d = $ [mm] -\sqrt{2} [/mm] $ - $ [mm] \sqrt{3}. [/mm] $
Ok, soweit ist alles klar!
>Es gibt 4! = 24 Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu permutieren, aber >nicht alle diese Permutationen gehören zur Galoisgruppe
Was ist mit permutieren einer Nullstelle gemeint, etwa dass
$ [mm] f=a_0b_0c_0d_0=a_0b_0d_0c_0=a_0c_0d_0b_0=...= [/mm] $ wobei $ [mm] a_0=(x-a),b_0=(x-b)... [/mm] $ ???
>: Alle algebraischen Gleichungen mit ausschließlich rationalen >Koeffizienten, die die Variablen a,b,c und d enthalten, müssen unter den >Permutationen der Galoisgruppe ihre Gültigkeit bewahren.
Welche Gültigkeit? Was muss denn gelten??
>Eine solche Gleichung ist beispielsweise a + d = 0. Aufgrund dieser >Gleichung gehört die Permutation, die a und b gleich lässt und c und d >vertauscht, nicht zur Galois-Gruppe, da a auf a und d auf c abgebildet >wird, aber a + c nicht gleich 0 ist.
>
>Eine weitere Gleichung, welche die Nullstellen erfüllen,
Wieso eine "weitere"? Die Gleichung oben dacht ich gehört nicht zu Galois-Gruppe??
> ist (a + b)2 = 8. Deshalb können wir (a, b) auf (c, d) abbilden, da wir >auch (c + d)2 = 8 haben. Aber wir können nicht (a, b) auf (a, c) abbilden, >da (a + c)2 = 12. Andererseits können wir (a, b) auf (c, d) abbilden, >obwohl a + b = 2√2 und c + d = -2√2, da die Gleichung a + b = 2√2 mit >√2 eine irrationale Zahl als Koeffizient besitzt, so dass diese Gleichung >nicht für die Definition der Galoisgruppe relevant ist.
>
>All diese Anforderungen eliminieren Permutationen aus der Galoisgruppe, >so dass diese letztendlich nur die folgenden vier Permutationen enthält >und isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist:
Muss ich dann bei allen 24 Möglichkeiten die "Bedingungen" testen??
>
>
> (a, b, c, d) → (a, b, c, d)
> (a, b, c, d) → (c, d, a, b)
> (a, b, c, d) → (b, a, d, c)
> (a, b, c, d) → (d, c, b, a)
Ok,mir fehlt wohl offensichtlich etwas Basiswissen, sonst vertseht man ja die Wikipedia-Beispiele oft recht gut. Leider komm ich hier aber nicht dahinter! Wäre super, wenn mir das jemand möglichst einleuchtend erklären kann.
(Mit Gruppentheorie,Körpererweiterungen,Ringen,etc. kenn ich mich aus)
Vielen Dank schonmal!
MfG Oby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mo 06.07.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Hab mir eben schon den Wikipedia Eintrag über
> Galoistheorie angeschaut, leider versteh ich das aber nicht
> so ganz. Ich habs mal hierher kopiert:
>
> Dies zum Beispiel:
>
> >Die Galoisgruppe des Polynoms f= [mm](x^2[/mm] − [mm]5)^2[/mm] − 24 soll
> über dem Körper >der rationalen Zahlen bestimmt werden.
> Damit sind bei den >algebraischen Gleichungen, welche von
> den Nullstellen erfüllt werden, >nur rationale Zahlen als
> Koeffizienten erlaubt.
> >
> >Die Nullstellen des Polynoms sind
> >
> > a = [mm]\sqrt{2}[/mm] + [mm]\sqrt{3},[/mm]
> > b = [mm]\sqrt{2}[/mm] - [mm]\sqrt{3},[/mm]
> > c = [mm]-\sqrt{2}[/mm] + [mm]\sqrt{3},[/mm]
> > d = [mm]-\sqrt{2}[/mm] - [mm]\sqrt{3}.[/mm]
>
> Ok, soweit ist alles klar!
>
>
> >Es gibt 4! = 24 Möglichkeiten, diese vier Nullstellen zu
> permutieren, aber >nicht alle diese Permutationen gehören
> zur Galoisgruppe
>
> Was ist mit permutieren einer Nullstelle gemeint, etwa
> dass
> [mm]f=a_0b_0c_0d_0=a_0b_0d_0c_0=a_0c_0d_0b_0=...=[/mm] wobei
> [mm]a_0=(x-a),b_0=(x-b)...[/mm] ???
Eine einzelne Nullstelle kann man natürlich nicht wirklich permutieren, eine Permutation der Elemente einer Menge ist eine bijektive Abbildung der Menge auf sich. Hier hast du 4 verschiedene Nullstellen.
> >: Alle algebraischen Gleichungen mit ausschließlich
> rationalen >Koeffizienten, die die Variablen a,b,c und d
> enthalten, müssen unter den >Permutationen der
> Galoisgruppe ihre Gültigkeit bewahren.
Die Elemente der Galois-Gruppe sind Körperautomorphismen, die den Grundkörper (hier [mm] \IQ) [/mm] elementweise fest lassen (deren Einschränkung auf den Grundkörper die Identität ist). Jedes [mm] \varphi [/mm] aus der Galois-Gruppe ist eingeschränkt auf die Menge der Nullstellen eine Permutation derselben. Ist nämlich f ein Polynom mit Koeffizienten aus [mm] \IQ [/mm] und x eine Nullstelle, also f(x) = 0, dann ist 0 = [mm] \varphi(0)) [/mm] = [mm] \varphi(f(x)) [/mm] = [mm] f(\varphi(x)), [/mm] weil [mm] \varphi [/mm] ein Automorphismus ist und die Koeffizienten festbleiben, also ist auch [mm] \varphi(x) [/mm] eine Nullstelle.
> Welche Gültigkeit? Was muss denn gelten??
Jetzt gibt es gewisse Beziehungen zwischen den Nullstellen, und wir schauen, was bei den diversen Permutationen aus diesen wird.
> >Eine solche Gleichung ist beispielsweise a + d = 0.
> Aufgrund dieser >Gleichung gehört die Permutation, die a
> und b gleich lässt und c und d >vertauscht, nicht zur
> Galois-Gruppe, da a auf a und d auf c abgebildet >wird,
> aber a + c nicht gleich 0 ist.
Es gibt also kein [mm] \varphi [/mm] in der Galois-Gruppe, das diese Permutation induziert.
> >Eine weitere Gleichung, welche die Nullstellen
> erfüllen,
>
> Wieso eine "weitere"? Die Gleichung oben dacht ich gehört
> nicht zu Galois-Gruppe??
>
> > ist (a + b)2 = 8. Deshalb können wir (a, b) auf (c, d)
> abbilden, da wir >auch (c + d)2 = 8 haben. Aber wir können
> nicht (a, b) auf (a, c) abbilden, >da (a + c)2 = 12.
> Andererseits können wir (a, b) auf (c, d) abbilden,
> >obwohl a + b = 2√2 und c + d = -2√2, da die Gleichung
> a + b = 2√2 mit >√2 eine irrationale Zahl als
> Koeffizient besitzt, so dass diese Gleichung >nicht für
> die Definition der Galoisgruppe relevant ist.
>
> >
> >All diese Anforderungen eliminieren Permutationen aus der
> Galoisgruppe, >so dass diese letztendlich nur die folgenden
> vier Permutationen enthält >und isomorph zur Kleinschen
> Vierergruppe ist:
>
> Muss ich dann bei allen 24 Möglichkeiten die "Bedingungen"
> testen??
Logisch ist das noch nicht ganz rund, es ist bisher nur geklärt, daß die Elemente der Galois-Gruppe eine dieser 4 Permutationen der Nullstellen liefern müssen.
> > (a, b, c, d) → (a, b, c, d)
> > (a, b, c, d) → (c, d, a, b)
> > (a, b, c, d) → (b, a, d, c)
> > (a, b, c, d) → (d, c, b, a)
Jetzt müßte man noch feststellen, daß es zu jeder dieser Permutationen genau einen Körperautomorphismus gibt, von dem sie kommt.
> Ok,mir fehlt wohl offensichtlich etwas Basiswissen, sonst
> vertseht man ja die Wikipedia-Beispiele oft recht gut.
> Leider komm ich hier aber nicht dahinter! Wäre super, wenn
> mir das jemand möglichst einleuchtend erklären kann.
> (Mit Gruppentheorie,Körpererweiterungen,Ringen,etc. kenn
> ich mich aus)
Als gute Einführung kann ich dir das in dem Wiki-Artikel erwähnte Buch von Artin empfehlen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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