Gal(K,L), Zwischenkörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Seien (K,L) eine galloissche Körpererweiterung, G=Gal(K,L) und M,N Körper mit [mm] K\le M\le [/mm] L und [mm] K\le N\le [/mm] L.
Beh: a) M,N sind K-isomorph [mm] \gdw C_G(M) [/mm] und [mm] C_G(N) [/mm] sind in G zueinander konjugiert.
b)Sei (K,L) endlich und normal. Sind (M,L) separabel, (N,L) separabel, so ist (M [mm] \cap [/mm] N, L)separabel. |
Hallo alle zusammen!
Kämpfe gerade mit meinen neusten Aufgaben und kann wenig damit anfangen.
Zu a)Was zu zeigen ist, ist klar, aber ich finde überhaupt keinen Ansatz. Habe versucht, das Ding direkt zu beweisen und bin in beide Richtungen gescheitert. Habe ich vielleicht etwas gesehen? Könnte mir jemand einen Ansatz geben?
Zu b) Auch hier habe ich ein wenig rumgerätselt und habe ebenfalls versucht, die relativ direkt zu beweisen, mir zwei Polynome aus (M,L) und (N,L) genommen, deren irred. Faktoren in L jeweils einfache Nulstellen haben. Naja,... und die Elemente aus M [mm] \cap [/mm] N sind ja insbes. aus N und aus M, aber die irreduziblen Faktoren sind nicht unbedingt dieselben. Kann ich da "(K,L) normal" nutzen und die irreduziblen Faktoren irgendwie als Minimalpolinome auffassen oder etwas in der ARt?
Vielen Dank erst mal,
Gruß San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
> Seien (K,L) eine galloissche Körpererweiterung, G=Gal(K,L)
> und M,N Körper mit [mm]K\le M\le[/mm] L und [mm]K\le N\le[/mm] L.
> Beh: a) M,N sind K-isomorph [mm]\gdw C_G(M)[/mm] und [mm]C_G(N)[/mm] sind in
> G zueinander konjugiert.
> b)Sei (K,L) endlich und normal. Sind (M,L) separabel,
> (N,L) separabel, so ist (M [mm]\cap[/mm] N, L)separabel.
> Hallo alle zusammen!
> Kämpfe gerade mit meinen neusten Aufgaben und kann wenig
> damit anfangen.
> Zu a)Was zu zeigen ist, ist klar, aber ich finde überhaupt
> keinen Ansatz. Habe versucht, das Ding direkt zu beweisen
> und bin in beide Richtungen gescheitert. Habe ich
> vielleicht etwas gesehen? Könnte mir jemand einen Ansatz
> geben?
Sei $M [mm] \cong [/mm] N$ mit einem $K$-Isomorphismus [mm] $\hat{\sigma} [/mm] : M [mm] \to [/mm] N$. Dann gibt es ein [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(K, L)$ mit [mm] $\sigma|_M [/mm] = [mm] \hat{\sigma}$ [/mm] (das musst du dir ueberlegen), und damit ist [mm] $C_G(M) [/mm] = [mm] \sigma^{-1} C_G(N) \sigma$ [/mm] (nachrechnen!).
Ist andererseits [mm] $C_G(M) [/mm] = [mm] \sigma^{-1} C_G(N) \sigma$ [/mm] fuer ein [mm] $\sigma \in [/mm] Gal(K, L)$, so musst du [mm] $\sigma(M) [/mm] = N$ zeigen. Sei $x [mm] \in [/mm] M$. Dann ist [mm] $\tau(x) [/mm] = x$ fuer alle [mm] $\tau \in C_G(M)$, [/mm] also [mm] $(\sigma^{-1} \tau \sigma)(x) [/mm] = x$ fuer alle [mm] $\tau \in C_G(N)$. [/mm] Das bedeutet jedoch ...
Die Rueckrichtung ($N [mm] \subseteq \sigma(M)$) [/mm] kannst du mit Hilfe der Symmetrie [mm] $C_G(M) [/mm] = [mm] \sigma^{-1} C_G(N) \sigma \Longleftrightarrow C_G(N) [/mm] = [mm] (\sigma^{-1})^{-1} C_G(M) (\sigma^{-1})$ [/mm] zeigen.
> Zu b) Auch hier habe ich ein wenig rumgerätselt und habe
> ebenfalls versucht, die relativ direkt zu beweisen, mir
> zwei Polynome aus (M,L) und (N,L) genommen, deren irred.
> Faktoren in L jeweils einfache Nulstellen haben. Naja,...
> und die Elemente aus M [mm]\cap[/mm] N sind ja insbes. aus N und aus
> M, aber die irreduziblen Faktoren sind nicht unbedingt
> dieselben. Kann ich da "(K,L) normal" nutzen und die
> irreduziblen Faktoren irgendwie als Minimalpolinome
> auffassen oder etwas in der ARt?
Da $(K,L)$ normal und endlich ist, ist auch jedes $(Z,L)$ normal und endlich, wobei $Z$ irgendein Zwischenkoerper von $(K,L)$ ist (also $K [mm] \subseteq [/mm] Z [mm] \subseteq [/mm] L$; das folgt aus der Charakterisierung von endlichen normalen Erweiterungen als Zerfaellungskoerper). Damit ist auch $(N [mm] \cap [/mm] M, L)$ normal und somit kannst du ohne Einschraenkung $K = N [mm] \cap [/mm] M$ annehmen.
Sei $f [mm] \in [/mm] K[x]$ irreduzibel mit [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$ fuer ein [mm] $\alpha \in [/mm] L$. Es ist zu zeigen, dass $f$ einem Zerfaellungskoerper von $f$ keine mehrfachen Nullstellen hat.
Da $(K, L)$ nun normal ist und [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$ fuer ein [mm] $\alpha \in [/mm] L$, so muss $f$ ueber $L$ in Linearfaktoren zerfallen; somit enthaelt $L$ einen Zerfaellungskoerper von $f$ ueber $K$. Sei $f = [mm] \prod_{i=1}^k [/mm] (x - [mm] \alpha_i)^{e_i}$ [/mm] mit [mm] $\alpha_i \neq \alpha_j$ [/mm] und [mm] $e_i \in \IN_{>0}$.
[/mm]
Sei ohne Einschraenkung [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_\ell \in [/mm] M$ und [mm] $\alpha_{\ell+1}, \dots, \alpha_k \not\in [/mm] M$. Also ist [mm] $\hat{f} [/mm] := [mm] \prod_{i=\ell+1}^k [/mm] (x - [mm] \alpha_i)^{e_i} \in [/mm] M[x]$ (da [mm] $\prod_{i=\ell+1}^k [/mm] (x - [mm] \alpha_i)^{e_i}$ [/mm] per Polynomdivision aus [mm] $\prod_{i=1}^k [/mm] (x - [mm] \alpha_i)^{e_i}$ [/mm] durch [mm] $\prod_{i=1}^\ell [/mm] (x - [mm] \alpha_i)^{e_i}$ [/mm] entsteht).
Jetzt kannst du zeigen, dass [mm] $\hat{f}$ [/mm] irreduzibel ueber $M[x]$ ist (wenn es reduzibel ist, dann liegen die Faktoren in $(M [mm] \cap [/mm] N)[x] = K[x]$ und somit ist auch $f$ reduzibel, Widerspruch). Da $(M, L)$ separabel ist folgt damit [mm] $e_{\ell+1} [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] e_k [/mm] = 1$.
Andererseits ist [mm] $\alpha_1, \dots, \alpha_k \not\in [/mm] N$ (ansonsten waer eine davon in $N [mm] \cap [/mm] M = K$, ein Widerspruch zu $f$ irreduzibel), und auch ein paar weitere der [mm] $\alpha_i$ [/mm] koennten nicht in $N$ sein. Mit dem gleichen Argument wie gearde (nur $N$ und $M$ vertauscht) bekommst du also, dass die restlichen [mm] $e_i$ [/mm] auch gleich $1$ sind.
Damit ist $f = [mm] \prod_{i=1}^k [/mm] (x - [mm] \alpha_i)$ [/mm] mit [mm] $\alpha_i \neq \alpha_j$ [/mm] fuer $i [mm] \neq [/mm] j$, womit $f$ keine mehrfachen Nullstellen in $L$ hat.
Da $f$ beliebig war folgt $(K, L)$ separabel.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Bin erst mal erschlagen, vielen Dank, auch wenn ich schon abgeben musste. Ich werde mir das, sobald ich zeit habe, in Ruhe noch mal anschauen. Vielen lieben Dank auf jeden Fall
Gruß
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
> Bin erst mal erschlagen,
Das glaub ich dir!
Ich denke, die Aufgabe laesst sich auch etwas eleganter loesen, mir faellt aber grad nix ein... Lies dir das nochmal in Ruhe durch und schau dir an wie das im Tutorium vorgerechnet wird (da gibts dann hoffentlich ne schoenere, kuerzere Loesung). 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Mach ich, danke, ertrinke allerdings gerade so in Arbeit, dass von "in Ruhe anschauen" erst einmal keine Rede sein kann bis Freitag oder so... Deswegen musste ich ja in letzter zeit auch so viel posten. Habe keine Zeit für gar nichts.
Also einen hocherhobenen Daumen für den Matheraum (insbes. dich und alle, die gerade konkret geholfen haben)!!!
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