Gal.G. v. f über K,[L:K] Best. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Di 02.12.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo :),
also ich schaue mir gerade ein Beispiel zum Thema Galoisgruppen von Gleichungen an(Bosch, S.160) und zwar soll [mm] f=X^3+aX+b \in [/mm] K[X] mit char [mm] K\not=2,3 [/mm] und [mm] a\not=0 [/mm] sein. Somit ist f irreduzibel über K und separabel. L sei Zerfällungskörper von f über K. [mm] c,d\in [/mm] L seien Nullstelle von f. Gesucht ist nun [L:K]. Im Bosch steht nun, dass entweder [L:K]=3 oder [L:K]=6 ist.
Warum ?
Meine Überlegungen dazu:
Also mir ist klar, dass [K(c):K]=3, da f MiPo von c über K.
[L:K]=[K(c,d):K(c)]*3 nach Gradformel
Es gilt ja sicher [mm] grad(MiPo(d)/K(c))\le [/mm] grad(MiPo(d)/K)
Aber warum gilt dann wirklich "<" ? Weil das MiPo von d über K eine Nullstelle in K(c) besitzt ?
Wäre dankbar, wenn mir jemand da weiterhelfen könnte.
Danke!
LG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Do 04.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian
> also ich schaue mir gerade ein Beispiel zum Thema
> Galoisgruppen von Gleichungen an(Bosch, S.160) und zwar
> soll [mm]f=X^3+aX+b \in[/mm] K[X] mit char [mm]K\not=2,3[/mm] und [mm]a\not=0[/mm]
> sein. Somit ist f irreduzibel über K und separabel.
Warum sollte es irreduzibel sein? Waehle etwa $a = -1$ und $b = 0$, dann ist [mm] $X^3 [/mm] + a X + b = [mm] X^3 [/mm] - X = X [mm] \cdot [/mm] (X + 1) [mm] \cdot [/mm] (X - 1)$.
> L sei
> Zerfällungskörper von f über K. [mm]c,d\in[/mm] L seien Nullstelle
> von f. Gesucht ist nun [L:K]. Im Bosch steht nun, dass
> entweder [L:K]=3 oder [L:K]=6 ist.
> Warum ?
> Meine Überlegungen dazu:
> Also mir ist klar, dass [K(c):K]=3, da f MiPo von c über
> K.
> [L:K]=[K(c,d):K(c)]*3 nach Gradformel
Genau.
> Es gilt ja sicher [mm]grad(MiPo(d)/K(c))\le[/mm] grad(MiPo(d)/K)
> Aber warum gilt dann wirklich "<" ? Weil das MiPo von d
> über K eine Nullstelle in K(c) besitzt ?
Nun, du kannst ja $f$ durch $x - c$ teilen; dies ist dann ein Polynom mit Koeffizienten in $K(c)$, welches $d$ immer noch als Nullstelle hat. Und es gilt [mm] $\deg \frac{f}{x - c} [/mm] = 2$. Also muss der Grad von $MiPi(d)/K(c)$ kleinergleich 2 sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Do 04.12.2008 | | Autor: | Fry |
Wunderbar, wie ichs mir gedacht hatte, dank dir !
VLG
Christian
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