GW berechnen - Landau Notation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:34 Sa 12.02.2011 | | Autor: | ElRon91 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow\ - \infty} \bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} [/mm] mit Landau Methode bestimmen. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der Landau Notation und der Potenzreihenentwicklung.
Man kann ja Grenzwerte von Elementarfunktionen mit den entsprechenden Potenreihenentwichlungen und der Landau Notation in den meisten Fällen berechnen. Ich habe aber versucht die obige Aufgbe entsprechend zu lösen.
Es ist mir durchaus bewusst das es eine deutlich einfachere Methode gibt diesen Grenzwert zu bestimmen, aber es geht mir hier um diese Potenzreihen Methode.
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand diese Aufgabe mit der entsprechenden Methode vorrechnen könnte.
Das Hauptproblem, dass ich nicht verstehe ist wieso die folgende Gleichung nicht funktioniert.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ - \infty} e^{x}= \limes_{x\rightarrow\ - \infty}(1+x+O(x^{2}))
[/mm]
es ist ziemlich eindeutig das die linke Seite gegen negative unendlich strebt wohingegen die linke seite gegen 0 geht. Wieso kann man für x gegen negativ unendlich nicht die entsprechende Potenzreihe verwenden?
Würde mich freuen wenn mir jemand ein bisschen Klarheit verschaffen könnt :)
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Grenzwerte-mit-der-Landau-Notation-berechnen
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Hallo,
willkommen im Forum!
> Das Hauptproblem, dass ich nicht verstehe ist wieso die
> folgende Gleichung nicht funktioniert.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ - \infty} e^{x}= \limes_{x\rightarrow\ - \infty}(1+x+O(x^{2}))[/mm]
Es gilt [mm] e^x=\sum_{k\geq0}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots
[/mm]
Damit kannst du die restlichen Summanden für [mm] x\to\infty [/mm] nicht mit [mm] O(x^2) [/mm] abschätzen und deswegen geht es schief.
Gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 12.02.2011 | | Autor: | ElRon91 |
Hallo,
danke für deine Antwort. Könntest du mir aber vielleicht nochmal genauer erklären wieso? Ich verstehe nicht aus welchem Grund die Reihe sich nicht durch [mm] O(x^{2}) [/mm] abschätzen lässt. Für x [mm] \rightarrow\infty [/mm] geht der Rest der Reihe doch schneller gegen Unendlich als [mm] x^{2} [/mm] oder nicht?
Noch die kleine Frage nebenbei:
Wenn man diesen Grenzwert betrachtet [mm] \limes_{x\rightarrow\ - \infty} (1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^{3}}{3!}+...) [/mm] ist das ja nichts anderes als der Grenzwert der alternierenden Reihe [mm] \limes_{x\rightarrow\ + \infty} (1-x+\bruch{x^{2}}{2!}-\bruch{x^{3}}{3!}+...) [/mm] aber ist dieser Grenzwert wirklich 0? Vielleicht kann das ja jemand zeigen.
Grüße
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Hallo
> danke für deine Antwort. Könntest du mir aber vielleicht
> nochmal genauer erklären wieso? Ich verstehe nicht aus
> welchem Grund die Reihe sich nicht durch [mm]O(x^{2})[/mm]
> abschätzen lässt. Für x [mm]\rightarrow\infty[/mm] geht der Rest
> der Reihe doch schneller gegen Unendlich als [mm]x^{2}[/mm] oder
> nicht?
Problem: die Reihenglieder mit geraden Exponenten streben gegen [mm] +\infty, [/mm] diejenigen mit ungeraden Exponenten gegen [mm] -\infty. [/mm] Es lässt sich also nicht so einfach vorhersagen was mit dem gesamten Objekt passiert.
>
> Noch die kleine Frage nebenbei:
> Wenn man diesen Grenzwert betrachtet [mm]\limes_{x\rightarrow\ - \infty} (1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^{3}}{3!}+...)[/mm]
> ist das ja nichts anderes als der Grenzwert der
> alternierenden Reihe [mm]\limes_{x\rightarrow\ + \infty} (1-x+\bruch{x^{2}}{2!}-\bruch{x^{3}}{3!}+...)[/mm]
> aber ist dieser Grenzwert wirklich 0? Vielleicht kann das
> ja jemand zeigen.
Es gilt
a) [mm] exp(x)=\sum_{k\geq0}\frac{x^k}{k!}=1+x+\bruch{x^{2}}{2!}+\bruch{x^{3}}{3!}+\ldots
[/mm]
b) [mm] exp(-x)=\sum_{k\geq0}\frac{(-x)^k}{k!}=1-x+\bruch{x^{2}}{2!}-\bruch{x^{3}}{3!}+...
[/mm]
Nun ist aber [mm] \lim_{x\to\infty}exp(-x)=0=\lim_{y\to-\infty}exp(x).
[/mm]
Das genau sind aber deine Grenzwerte.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Sa 12.02.2011 | | Autor: | ElRon91 |
Hallo,
vielen dank für die Antwort. Langsam beginnt alles Sinn zu machen. Also jetzt nochmal zurück zur ursprünglichen Frage. Ist es richtig, das es nicht geht [mm] e^{-x} [/mm] für x [mm] \rightarrow\infty [/mm] durch eine Potenzreihe mit den Landau Symbolen abzuschätzen, da man auf eine alternierende Reihe stößt? Was dann natürlich auch erklärt warum es unmöglich ist die Aufgabe die ich am Anfang gestellt habe durch eine solche Abschätzung zu lösen?
Vielen Dank für die Hilfe! Da hatte ich mal wieder ein Brett vor dem Kopf :P
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> Hallo,
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> vielen dank für die Antwort. Langsam beginnt alles Sinn zu
> machen. Also jetzt nochmal zurück zur ursprünglichen
> Frage. Ist es richtig, das es nicht geht [mm]e^{-x}[/mm] für x
> [mm]\rightarrow\infty[/mm] durch eine Potenzreihe mit den Landau
> Symbolen abzuschätzen, da man auf eine alternierende Reihe
> stößt? Was dann natürlich auch erklärt warum es
> unmöglich ist die Aufgabe die ich am Anfang gestellt habe
> durch eine solche Abschätzung zu lösen?
Ja, da bin ich mir sehr sicher. Man könnte noch hinzufügen, weil die 'alternierenden' Reihenglieder selbst gegen [mm] \pm\infty [/mm] streben.
>
> Vielen Dank für die Hilfe! Da hatte ich mal wieder ein
> Brett vor dem Kopf :P
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 16.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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