GL(V) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Sa 06.12.2008 | | Autor: | s.1988 |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum der endlichen Dimension n un f [mm] \in Hom_{K}(V,V). [/mm] Bezüglich einer geeigneten Basis von V (aufgefasst als Basis sowohl des Ausgangs- als auch des Zielraumes) erfülle die darstellende Matrix [mm] A_{f} [/mm] = [mm] (a_{ij})_{1\le i,j\le n} [/mm] von f die Bedingung [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle i [mm] \ge [/mm] j. Zeigen Sie:
(i) Es gibt eine natürliche Zahl m mit [mm] f^{m}=0. [/mm] Hierbei bezeichnet [mm] f^{m}=f \circ [/mm] .... [mm] \circ [/mm] f die m-fache Hintereinanderaussführung von f.
(ii) Für [mm] u:=id_{V} [/mm] + f gilt u [mm] \in [/mm] GL(V) und [mm] u^{-1}=id_{V} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{m-1}(-1)^{i}f^{i}. [/mm] |
Hallo,
ein paar Tipps wären hier echt super.
Ich habe nciht den blassesten Schimmer und das ist ja immer schlecht.
Ich verstehe wohl, wie die Aufgabe gestellt ist, aber mehr auch nicht.
Tipps bzw. Ansätze wären echt super, aber mehr bitte noch nicht, da ich es ja noch selber lernen will.
Vielen Dank
Sebastian
|
|
| |
|
Hey,
bei dieser Aufgabe hänge ich leider auch ein wenig. wenn ich richtig liege müsste m=n-1 sein, da ja in der ersten Zeile der neuen Matrix mit jeder Matrizenmultiplikation ein weiterer Eintrag 0 wird. Und da wir ja n Spalten haben und der erste Eintrag schon 0 ist müsste man f n-1 mal hintereinander ausführen. Wie ich das nun allerdings vernünftig aufschreiben soll weiß ich leider auch nicht so genau.
lg Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Vergil |
Hallo,
was haltet ihr von folgender Idee: Sei [mm] a_1, a_2, \dots , a_n [/mm] die Basis und diese sei schon entsprechend geordnet. Dann ist [mm] f \, a_1 = 0 [/mm] und [mm] f \, a_2 = \alpha_{12}\, a_1 [/mm] mit [mm] \alpha_{12} \in K [/mm]. Folglich ist [mm] f^{(2)} \, a_2 = 0 [/mm]. Auf diese Weise könnte man also einen Induktionsbeweis basteln.
z.Z. [mm] f^{(k)} \, a_k = 0 [/mm] mit [mm] k \in \IN [/mm] und [mm] k \leq n[/mm]
Induktion nach k: Induktionsvorraussetzung ist klar. Warum?
Induktionsschritt: [mm] f^{(k+1)} \, a_{k+1} = f^{(k)} \, f \, a_k = \dots = 0[/mm]
Die Pünktchen könnt ihr ja ausführen, dann habe ich nicht zuviel verraten.
Wie ihr seht, sollte also [mm] m \leq n [/mm] gelten. Insbesondere kann der Fall [mm] m = n[/mm] auftreten.
Im zweiten Teil würde ich dann direkt einsetzen:
[mm] u^{-1} \, u = \left( id_V + f \right) \left( \summe_{i=1}^{m-1}(-1)^{i}f^{i} \right) = id_V + f + \summe_{i=1}^{m-1}(-1)^{i}f^{i+1} + \summe_{i=1}^{m-1}(-1)^{i}f^{i} = id_V + f + \summe_{i=1}^{m-1} \left\{ (-1)^{i}f^{i} - (-1)^{i+1}f^{i+1} \right\} = id_V [/mm]
Warum gilt das letzte Gleichheitszeichen?
Einen Gruß
Vergil
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:39 So 07.12.2008 | | Autor: | Mucky_ |
Man soll doch bei 2 zeigen, dass u Element von GL(V) ist. Da frag ich mich,wieso setzt du ein? Was sagt mir das?
Deinen Induktionsschritt habe ich auch nicht so wirklich verstanden...
Vielleicht kannst du es mal für richtig dumme (mich) erklären?
Wäre super.
Grüße
|
|
|
| |
|
> Man soll doch bei 2 zeigen, dass u Element von GL(V) ist.
> Da frag ich mich,wieso setzt du ein? Was sagt mir das?
>
> Deinen Induktionsschritt habe ich auch nicht so wirklich
> verstanden...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich habe ja aufgrund diner schwammigen Fragen das Gefühl, daß Du wahrscheinlich die Aufgabe überhaupt nicht verstanden hast.
Man hat hier einen Endormorphismus f auf V, dessen darstellende Matrix bzgl einer Basis A eine obere Dreiecksmatrix ist, welche auf der Hauptdiagonalen Nullen hat.
Die Behauptiung in i) ist nun, daß man, wenn man die Matrix oft genug mit sich selbst multipliziert, die Nullmatrix erhält.
Eine Vorgehensweise, mit welcher ich gut gefahren bin, ist, daß man sich mal ein paar Beispiele macht.
Nimm Dir doch mal passende 2x2-, 3x3-, x4-Matrizen und guck nach, wie ot Du sie mit sich selbst multiplizieren mußt. So bekommt man ein Geühl dafür, wie die Sache läuft, und man merkt, was man gerne zeigen möchte.
Danach dann kannst Du Dich über den Beweis hermachen. Auch diesen Beweis kannst Du vielelicht erstmal für n=4 führen, oft hilft das.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 07.12.2008 | | Autor: | Mucky_ |
Danke für die Begrüßung.
Wie die Aufgabe ablaufen soll, habe ich schon verstanden ;)
Mein Problem ist: Wie kann ich Induktion und Abbildungsmatrix in Einklang bringen - und die Frage habe ich zuvor schon gestellt.
Meine Frage zu Aufgabe 2 (ii) wurde von dir auch eher nicht beantwortet, darum stelle ich sie hier noch einmal anders:
Inwiefern hat das, was Vergil geschrieben hat, etwas mit 2(ii) zu tun? Man soll 3 Bewhauptungen beweisen, doch Vergil setzt nur ein?
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
wenn schon das charakteristische Polynom mit etwas Drumherum bekannt ist, kann man sich dieser Kenntisse für i) bequem bedienen und ist schnell fertig
> Meine Frage zu Aufgabe 2 (ii) wurde von dir auch eher nicht
> beantwortet, darum stelle ich sie hier noch einmal anders:
>
> Inwiefern hat das, was Vergil geschrieben hat, etwas mit
> 2(ii) zu tun? Man soll 3 Bewhauptungen beweisen,
Ich zähle nur zwei.
DieI nvertierbarkeit hast du schnell über die Determinante.
> doch
> Vergil setzt nur ein?
Wenn er zeigen kann, daß [mm] (id_{V} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{i=1}^{m-1}(-1)^{i}f^{i})\circ [/mm] u die Identität ist, ist ja gezeigt, daß [mm] id_{V} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{i=1}^{m-1}(-1)^{i}f^{i} [/mm] das inverse von u ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
