GL(2,C) Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 01.11.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Es sei H die von [mm] A=\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i } [/mm] und B = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] in GL (2, [mm] \IC) [/mm] erzeugte Untergruppe.
Gib eine explizite Beschreibung von H ab und bestimme alle Normalteiler vonH sowie die zugehörigen Quotientengruppen. |
Hallo zusammen, also ich glaube, die explizite Beschreibung von H habe ich.
Das wäre meine Ansicht nach:
H = [mm] \{ A, A^{2}, A^{3}, A^{4}, B, B^{2}, B^{3}, AB, AB^{3}, A^{2}B, A^{3}B, A^{2}B^{2} \}
[/mm]
So und jetzt hakt es.
Ich weiß, dsas Normalteile definiert ist als:
aH=Ha oder [mm] aHa^{-1}=H
[/mm]
für alle a aus GL(2, [mm] \IC)
[/mm]
...aber was muss ich tun=
muss ich wirklich die Nebenklassen aufstellen? was für ein allgemeines a sollte ich wählen (wenn ich eins brauche)...
ich steh aufm schlauch.
Vielen Dank für jede Hilfe,
cmueller
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mo 01.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei H die von [mm]A=\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }[/mm] und B = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> in GL (2, [mm]\IC)[/mm] erzeugte Untergruppe.
> Gib eine explizite Beschreibung von H ab und bestimme alle
> Normalteiler vonH sowie die zugehörigen
> Quotientengruppen.
> Hallo zusammen, also ich glaube, die explizite
> Beschreibung von H habe ich.
> Das wäre meine Ansicht nach:
> H = [mm]\{ A, A^{2}, A^{3}, A^{4}, B, B^{2}, B^{3}, AB, AB^{3}, A^{2}B, A^{3}B, A^{2}B^{2} \}[/mm]
$A$ und $B$ haben beide Ordnung 4. Und es ist [mm] $A^2 [/mm] = [mm] B^2$ [/mm] und $A B = -B A$.
Insgesamt hat die Untergruppe 8 Elemente. Es sind also einige von denen, die du hingeschrieben hast, gleich.
Versuch mal herauszufinden welche. Und versuch dir mal etwas ueber die Struktur Gedanken zu machen. Was fuer nicht-kommutative Gruppen der Ordnung 8 kennst du?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 01.11.2010 | | Autor: | cmueller |
Oh Mist, du hast recht, ich hatte mich am Anfang verrechnet und daher viel zu viele Elemente...
Nachm korrigieren und deiner Hilfe komme ich jetzt auf:
H = [mm] \{ A, A^{2}, A^{3}, B, AB, BA, A^{2}B, E\}
[/mm]
Und eine nicht-kommutative Gruppe der Ordnung 8, kenne ich die Diedergruppe ...
mh [mm] D_{4}=\{e, a, a^{2}, a^{3}, b, ab, ba, a^{2}b\} [/mm] na sowas das kommt ja hin :P
aber ich krieg das jetzt leider nicht kombiniert (oder war das zur hilfe, um H darzustellen?)
wie komme ich jetzt normalteilertechnisch weiter?
EDIT: moment es gibt doch noch die quaternionengruppe...ist das nicht genau die untergruppe H?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mo 01.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> EDIT: moment es gibt doch noch die quaternionengruppe...ist
> das nicht genau die untergruppe H?
ja, genau die ist das. Wenn du $i := A$ und $j := B$ und $k := AB$ setzt, dann hast du $i j k = [mm] i^2 [/mm] = [mm] j^2 [/mm] = [mm] k^2 [/mm] = -1$, und $H = [mm] \{ 1, i, j, k, -1, -i, -j, -k \}$ [/mm] (wobei $1$ die Einheitsmatrix ist).
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Di 02.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh Mist, du hast recht, ich hatte mich am Anfang verrechnet
> und daher viel zu viele Elemente...
>
> Nachm korrigieren und deiner Hilfe komme ich jetzt auf:
> H = [mm]\{ A, A^{2}, A^{3}, B, AB, BA, A^{2}B, E\}[/mm]
Sieht gut aus. Es ist aber einfacher, wenn man das in Quaternionenschreibweise betrachtet, finde ich zumindest 
> wie komme ich jetzt normalteilertechnisch weiter?
Ich wuerde erstmal alle Untergruppen bestimmen. Fange mit den zyklischen an.
Wenn du die alle hast, nimm eine davon und fueg ein Element ausserhalb ihr hinzu und versuch die davon erzeugte Untergruppe zu bekommen indem du passend viele Elemente hinzufuegst.
Wenn du eine Liste aller Untergruppen hast, so gilt: alle von Ordnung 1, 4, 8 sind auf jeden Fall Normalteiler. Fraglich sind halt die Untergruppen der Ordnung 2. Wieviele gibt es? Beachte: wenn es genau eine Untergruppe der Ordnung $n$ gibt, so muss diese bereits ein Normalteiler sein.
LG Felix
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