G-Bahnen - Bahnenanzahl < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die endliche Gruppe G operiere auf der endlichen Menge M. Zeigen Sie, dass die Anzahl der G-Bahnen von M gleich der mittleren Fixpunktanzahl ist:
|{Gm | m [mm] \in [/mm] M}| = [mm] \bruch{1}{|G|} \summe_{g \in G}^{} |M_{g}| [/mm] ,
wobei [mm] M_{g} [/mm] := {m [mm] \in [/mm] M | gm = m} . |
Habe hier die Musterlösung vor mir liegen, versteh jedoch den Anfang nicht. Und zwar wird hier die Anzahl der Bahnen anfangs durch
[mm] \summe_{x \in M}^{} \bruch{1}{|Gx|} [/mm]
ausgedrückt, und das kann ich nicht nachvollziehen. Das sind ja quasi die Summen aller [mm] \bruch{1}{Bahnlaenge}. [/mm] Wär nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
PS: Oder hab ich nur undeutlich abgeschrieben, und das |Gx| soll ein [mm] |G_{x}| [/mm] sein, also die Anzahl der Stabilisatoren von x. Das müsste mir aber auch jemand erklären.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mi 23.07.2008 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
> Die endliche Gruppe G operiere auf der endlichen Menge M.
> Zeigen Sie, dass die Anzahl der G-Bahnen von M gleich der
> mittleren Fixpunktanzahl ist:
>
> |{Gm | m [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M}| = [mm]\bruch{1}{|G|} \summe_{g \in G}^{} |M_{g}|[/mm]
> ,
>
> wobei [mm]M_{g}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {m [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M | gm = m} .
> Habe hier die Musterlösung vor mir liegen, versteh jedoch
> den Anfang nicht. Und zwar wird hier die Anzahl der Bahnen
> anfangs durch
>
> [mm]\summe_{x \in M}^{} \bruch{1}{|Gx|}[/mm]
>
> ausgedrückt, und das kann ich nicht nachvollziehen. Das
> sind ja quasi die Summen aller [mm]\bruch{1}{Bahnlaenge}.[/mm] Wär
> nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
Das geht so. Such dir ein Vertretersystem fuer die Bahnen, nennen wir es mal $V$: es gibt also zu jeder Bahn $G x$ genau ein Element $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \in [/mm] G x$.
Dann ist die Anzahl der Bahnen gleich $|V| = [mm] \sum_{v \in V} [/mm] 1$.
Jetzt kannst du die 1 ersetzen durch [mm] $\frac{|G v|}{|G v|} [/mm] = [mm] \sum_{x \in G v} \frac{1}{|G v|}$. [/mm] Da $|G v| = |G x|$ ist fuer alle $x [mm] \in [/mm] G v$, gilt [mm] $\frac{1}{|G v|} [/mm] = [mm] \frac{1}{|G x|}$.
[/mm]
Du hast also, dass die Anzahl der Bahnen gleich [mm] $\sum_{v \in V} \sum_{x \in G v} \frac{1}{|G x|}$ [/mm] ist.
Jetzt ueberlege dir, dass du die zwei Summen zu der einen Summe [mm] $\sum_{x \in M}$ [/mm] zusammenfassen kannst.
LG Felix
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