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Hallo,
ich hab ne Aufgabe bei der ich ein wenig Hilfestellung brauche, wäre nett, wenn mir Jemand n paar Tips geben würde.
Ich soll eine Funktionsuntersuchung an der Gleichung
f(x)= [mm] x^3/x^2-1 [/mm] durchführen
Definitionsmenge:
D=R \ {1;-1} wenn x=1 v -1 wäre, wäre der Nenner 0
Symmetrie:
f(-x)= [mm] (-x)^3/(-x)^2 [/mm] -1 = - [mm] x^3/x^2-1 [/mm] = -f(x)
f(-x)=-f(x) bedeutet Symmetrie zum Ursprung, also ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Polstellen; senkrechte Asymptoten:
Differenz der Polynomgrade ist ungrade -> ungrade Polstellen
[mm] x^2 [/mm] - 1=0 liefert x=1 x=-1
für x->1 und x<1 gilt : f(x) -> - [mm] \infty
[/mm]
für x->1 und x>1 gilt : f(x) -> 0 Ist das richtig? und wie sind dann die Gleichungen für die Asymptoten?
Ich würde sagen die Gleichungen der senkrechten Asymptoten sind x=1 ; x=-1
Verhalten für x-> + [mm] \infty [/mm] und x -> - [mm] \infty [/mm] :
Ich weiß, dass ich hier mit Polynomdivision arbeiten muss, aber die kann ich nicht und ich weiß auch nicht was die genau angeben würde.
Nullstellen:
Als einzige Nullstelle ergibt sich bei mir x=0 also N(0/0)
Ableitungen:
f'(x)= [mm] 3x^2/(x^2-1)^2
[/mm]
f''(x)= [mm] 6x/(x^2-1)^3
[/mm]
Extremstellen:
notw.Bed.: f'(x)=0
hinreichende Bedingung Vorzeichenwechsel bei f'(x)
[mm] 3x^2/(x^2-1)^2=0
[/mm]
da kommt bei mir x=0 raus
ich hätte dann als Punkt (0/1).......kommt mir komisch vor
Wendestellen:
notw.Bed. f''(x)=0
hinreichende Bedingung ein Vorzeichenwechsel von f''(x)
[mm] 6x/(x^2-1)^3 [/mm] = 0
da habe ich wieder einmal x=0
als Punkt dann (0/-1)
Wäre nett, wenn sich das Einer anschauen würde
liebe Grüße
Sumpfhuhn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Do 16.06.2005 | | Autor: | Berti |
also die Symmetrie stimmt
bei den Polstellen stimmt der grenzwert nicht, der ist nämlich für x [mm] \to1
[/mm]
und x<1 - [mm] \infty
[/mm]
die senkrechten assymptoten stimmen.
bei der polynomdivision musst du im grunde genommen nix anderes machen als die schriftliche division. schau mal im netz nach nem beispiel.
hier müsste als assymptotengleichung y=x rauskommen.
deine Ableitungen sind falsch. bei mir kommt nach quotientenregel für f'(x) = ( [mm] x^{4}-3 x^{2} [/mm] / (x²-1)² raus.
damit müsstest du auch auf andere extremstellen kommen allerdings auch auf die 0, da ist aber kein extrema, musst du mit dem vorzeichenwechsel zeigenallerdings von f' denn wenn du mit f'' arbeitest muss das nur [mm] \not= [/mm] 0 sein (<0 für maximum, >0 für minimum).die anderen beiden extremstellen sind wirklich welche, die bekommst du auch raus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du mußt hier jeweils den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert betrachten (also sowohl von beiden Seiten an die 1 bzw. -1 annähern).
Polynomdivision