Forum "Schul-Analysis" - Funktionsuntersuchung - Vorkurse

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Forum "Schul-Analysis" - Funktionsuntersuchung

Funktionsuntersuchung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Funktionsuntersuchung: Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:07 So 13.02.2005
Autor:	snibbe

Hallo,

habe folgende Aufgabenstellung:

Funktion: [mm]f_t(x)=\bruch{4x^3+tx-t^3}{x}[/mm] Ihr Schaubild sei [mm]K_t[/mm]

Aufgaben:
a) Untersuche [mm]f_t[/mm] auf Extremwerte. Hat [mm]f_t[/mm] ein globales Minimum? Hat [mm]f_t[/mm] ein globales Maximum?

b) Welche der Funktionen [mm]f_t[/mm] hat den kleinsten Extremwert? An welcher Stelle wird er angenommen? Wie groß ist dieser Extremwert?

c) Bestimme den geometrischen Ort der Extrempunkte aller Kurven [mm]K_t[/mm]. Für welche Werte von [mm]t[/mm] liegen die Extrempunkte unterhalb der x-Achse?

d) Zeige, dass die Wendepunkte aller Kurven [mm]K_t[/mm] auf einer Geraden liegen. Ist jeder Punkt dieser Geraden Wendepunkt einer Kurve [mm]K_t[/mm]?

Lösung zu a)

Folgende Ergebnisse konnte ich hier errechnen

[mm]f'(x)=\bruch{8x^3+t^3}{x^2}[/mm]
[mm]f''(x)=\bruch{8x^3-2t^3}{x^3}[/mm]

Extremstelle bei [mm]x_E=-\bruch{t}{2}[/mm]

Dann habe ich eine Fallunterscheidung gemacht, da ja die Variable t auftaucht.

Wenn t=0 --> [mm]x_E=0[/mm] --> keine Lösung, da die notwendige Bedingung nicht erfüllt ist (nicht definiert)

Wenn t>0 --> [mm]x_E<0[/mm] --> [mm]f''(-\bruch{t}{2})=24[/mm] >0 ; daraus folgt, dass es ein relativer Tiefpunkt ist.

Wenn t<0 --> [mm]x_E>0[/mm] --> [mm]f''(\bruch{t}{2})=-8[/mm] <0 ; daraus folgt, dass es ein relativer Hochpunkt ist.

[mm]T(-\bruch{t}{2}/-\bruch{8}{t}-\bruch{7}{4}*t^2 +t)[/mm]

[mm]H(\bruch{t}{2}/\bruch{8}{t}-\bruch{7}{4}*t^2 +t)[/mm]

Das waren meine Lösungen zu a)
Hoffe diese stimmen soweit.

Nun hänge ich aber bei den weiteren Aufgaben fest.
Finde bei b) überhaupt keinen Ansatz.

Bei c) würde ich die 1. Ableitung mit 0 gleichsetzen und dann nach t auflösen. Dieses Ergebnis würde ich dann in die y Koordiante der Extremstelle einsetzen. Und zur 2. Frage weiß ich leider auch nicht wie ich da rangehen soll.

Bei d) Hier würde ich sagen wie c), nur halt mir der zweiten Ableitung. Allerdings weiß ich auch hier bei der 2. Frage nicht wie ich das machen muss.

Bin dankbar für jede Hilfe.

snibbe

Bezug

Funktionsuntersuchung: Korrekturen + Hinweise

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	01:04 Mo 14.02.2005
Autor:	Loddar

Hallo snibbe!

> Funktion: [mm]f_t(x)=\bruch{4x^3+tx-t^3}{x}[/mm] Ihr Schaubild sei  [mm]K_t[/mm]
>
> Aufgaben:
> a) Untersuche [mm]f_t[/mm] auf Extremwerte. Hat [mm]f_t[/mm] ein globales
> Minimum? Hat [mm]f_t[/mm] ein globales Maximum?
>
> b) Welche der Funktionen [mm]f_t[/mm] hat den kleinsten Extremwert?
> An welcher Stelle wird er angenommen? Wie groß ist dieser
> Extremwert?
>
> c) Bestimme den geometrischen Ort der Extrempunkte aller
> Kurven [mm]K_t[/mm]. Für welche Werte von [mm]t[/mm] liegen die Extrempunkte
> unterhalb der x-Achse?
>
> d) Zeige, dass die Wendepunkte aller Kurven [mm]K_t[/mm] auf einer
> Geraden liegen. Ist jeder Punkt dieser Geraden Wendepunkt
> einer Kurve [mm]K_t[/mm]?
>
>
> Lösung zu a)
>
> Folgende Ergebnisse konnte ich hier errechnen
>
> [mm]f'(x)=\bruch{8x^3+t^3}{x^2}[/mm]
> [mm]f''(x)=\bruch{8x^3-2t^3}{x^3}[/mm]

> Mögliche Extremstelle bei [mm]x_E=-\bruch{t}{2}[/mm]

> Dann habe ich eine Fallunterscheidung gemacht, da ja die
> Variable t auftaucht.

Diese Fallunterscheidung brauchst Du erst machen, nachdem Du [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{t}{2}$ [/mm] in die 2. Ableitung eingesetzt hast.

[mm] $f''(x_E) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8*x_E^3-2t^3}{x_E^3} [/mm] \ = \ 8 - [mm] \bruch{2t^3}{x_E^3} [/mm] \ = \ 8 - [mm] \bruch{2t^3}{\left(-\bruch{t}{2} \right)^3} [/mm] \ = \ 24 \ > \ 0 \ \ [mm] \forall [/mm] \ x, \ t [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm]

Die Fallunterscheidung ist also nicht nötig, da [mm] $x_E$ [/mm] ein Minimum, unabhängig vom Parameter $t$ ...

[mm] $y_E [/mm] \ = \ [mm] f(x_E) [/mm] \ = \ f [mm] \left(-\bruch{t}{2} \right) [/mm] \ = \ ...$

> Nun hänge ich aber bei den weiteren Aufgaben fest.
> Finde bei b) überhaupt keinen Ansatz.

Gibt es gemäß Aufgabenstellung irgendwelche Bedingungen bzw. Einschränkungen zum Parameter $t$ ??

> Bei c) würde ich die 1. Ableitung mit 0 gleichsetzen und
> dann nach t auflösen. Dieses Ergebnis würde ich dann in
> die y Koordinate der Extremstelle einsetzen.

Warum nur "würde"? Mach's mal ...

> Und zur 2. Frage weiß ich leider auch nicht wie ich da rangehen soll.

Wenn Du die y-Werte zu den Extremwerten [mm] $y_E [/mm] \ = \ [mm] f(x_E)$ [/mm] hast, kannst Du doch untersuchen, wann [mm] $y_E [/mm] \ < \ 0$ ...

> Bei d) Hier würde ich sagen wie c), nur halt mir der
> zweiten Ableitung. Allerdings weiß ich auch hier bei der 2.
> Frage nicht wie ich das machen muss.

(siehe oben)

Gruß
Loddar

Bezug

Funktionsuntersuchung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:51 Mo 14.02.2005
Autor:	snibbe

Hallo,
danke für die schnelle Antwort.

Teil a) habe ich nun korrigiert und für den Tiefpunkt [mm]T(-\bruch{t}{2}/3t^2+t)[/mm] heraus.

zu b) t ist hier Element der Reellen zahlen. Weitere Einschränkungen sind nicht gegeben.

zu c)
habe dies einmal gemacht und folgendes heraus bekommen:

[mm]y=12x^2-2x[/mm] Auf dieser Parabel liegen alle Extrempunkte der Kurven [mm]K_t[/mm]

Habe dann überprüft, wann die Extremwerte unterhalb der x-Achse liegen und habe heraus bekommen, dass wenn t zwischen -1/3 und 0 liegt dies der Fall ist.

zu d)

Hier habe ich folgendes heraus bekommen.
Der Wendepunkt liegt bei:

[mm]x_W=\wurzel[3]{\bruch{1}{4}*t^3} f(x_W)=t [/mm]

Und für die Gerade komme ich auf [mm]y=\wurzel[3]{4x^3}[/mm]

Und bei der 2. Frage von d)

Ist das so gemeint, dass wenn z.B. t=0 wäre es kein WP gibt? da ja dann 8=0 entstehen würde und die Bedingung nicht mehr erfüllt wäre.

Das ist meiner Meinung nach dann auch der einzigste Fall wo dies auftreten könnte.

Vielen Dank nochmal

snibbe

Bezug

Funktionsuntersuchung: Korrekturen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	08:46 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

Guten Morgen Snibbe!

> Teil a) habe ich nun korrigiert und für den Tiefpunkt
> [mm]T(-\bruch{t}{2}/3t^2+t)[/mm] heraus.

> zu b) t ist hier Element der Reellen zahlen. Weitere
> Einschränkungen sind nicht gegeben.

Du hast ja den Tiefpunkt [mm]T \left( \ -\bruch{t}{2} \ ; \ 3t^2+t \right) [/mm] ermittelt.
Wann ist denn dieser y-Wert minimal?

> zu c)
> [mm]y=12x^2-2x[/mm]
> Auf dieser Parabel liegen alle Extrempunkte der Kurven [mm]K_t[/mm]

> Habe dann überprüft, wann die Extremwerte unterhalb der
> x-Achse liegen und habe heraus bekommen, dass wenn t
> zwischen -1/3 und 0 liegt dies der Fall ist.

> zu d)
> Hier habe ich folgendes heraus bekommen.
> Der Wendepunkt liegt bei:
> [mm]x_W=\wurzel[3]{\bruch{1}{4}*t^3} \ = \ \red{\bruch{t}{\wurzel[3]{4}}}[/mm]
> [mm]f(x_W)=t[/mm]

Der Form halber solltest Du den Wert für [mm] $x_W [/mm] \ = \ [mm] \bruch{t}{\wurzel[3]{4}}$ [/mm] auch noch in die 3. Ableitung [mm] $f_t'''(x)$ [/mm] einsetzen und überprüfen, daß [mm] $f_t'''(x_W) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$.

> Und für die Gerade komme ich auf [mm]y=\wurzel[3]{4x^3}[/mm]

Um die Geraden-Form noch deutlicher zu erkennen, würde ich umschreiben:
$y \ = \ [mm] \wurzel[3]{4x^3} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] * [mm] \wurzel[3]{x^3} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] * x$

> Und bei der 2. Frage von d)
> Ist das so gemeint, dass wenn z.B. t=0 wäre es kein WP
> gibt? da ja dann 8=0 entstehen würde und die Bedingung
> nicht mehr erfüllt wäre.

Ganz genau ...

Ganz großes Kompliment !! Klasse gerechnet ...
(In Deiner Rechnung natürlich alles etwas ausführlicher schreiben. :-)

)

Gruß
Loddar

Bezug

Funktionsuntersuchung: Ergebnis

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	14:42 Di 15.02.2005
Autor:	snibbe

Hallo,

habe bei b) das so gemacht, dass ich die y- Koordinate verwendet habe.

Man sieht ja das diese eine Parabel ist, auf der alle Extrempunkte liegen.
Das würde bedeuten, dass im Scheitelpunkt der Parabel der kleinste Extrempunkt liegen muss.

Habe dann [mm] 3t^2+t[/mm] abgeleitet und bin auf [mm]t=- \bruch{1}{6}[/mm] gekommen.

Das würde bedeuten, dass dort der kleinste Punkt liegt.
Die y-Koordinate ist -1/12

Nochmals vielen Dank für die hilfreichen Ansätze und Tipps.

snibbe

Bezug

Funktionsuntersuchung: Richtig !!!

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	15:31 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

.

Sehr gut

!!

Stimmt alles ...

Loddar

Bezug

Ansicht:

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